作差

常見(jiàn)的有導(dǎo)數(shù)法、作差法、作商法、換元法、分離參數(shù)法等.本文主要談一談證明函數(shù)不等式常用的三種思路：作差、換元、分離參數(shù).一、作差作差法是比較兩個(gè)數(shù)大小、證明不等式的常用方法.運(yùn)用作差法證明函數(shù)不等式，要先將不等式兩邊的式子作差，然后將差式與0比較，從而證明不等式成立.對(duì)于一些含有多項(xiàng)式的函數(shù)不等式，作差后的式子往往比較復(fù)雜，此時(shí)可利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，或根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得差式的最值，再將其與0進(jìn)行比較

妙招”.一、通過(guò)作差構(gòu)造新函數(shù)對(duì)于形如f（x）≤g（x）、f（x）≥g（x）的不等式恒成立問(wèn)題，通常需將不等式左右的式子作差，并移項(xiàng)；然后構(gòu)造函數(shù)G（x）=f（x）-g（x），將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為使G（x）≥0或G（x）≤0恒成立；再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義、導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，并求得函數(shù)的最值，只需使G（x）max≤0或G（x）min≥0，即可確保不等式恒成立；最后解不等式，求出參數(shù)的取值范圍.例1.若不等式（x+1）1n（x+1）解：

平方法、立方法、作差法、作商法、取近似數(shù)法、放縮法等。例如，比較下列各組數(shù)的大?。骸痉治觥康冢?）題要注意兩個(gè)數(shù)都為負(fù)數(shù)，應(yīng)先求絕對(duì)值，利用平方法比較絕對(duì)值大小，再根據(jù)規(guī)則判斷；第（2）題的兩個(gè)數(shù)中，一個(gè)數(shù)為立方根形式的無(wú)理數(shù)，另一個(gè)數(shù)為有理數(shù)，可用立方法比較大??；第（3）題可采用作差法比較大??；第（4）題的兩個(gè)數(shù)均為正數(shù)，可采用作商法；解第（5）題時(shí)，要熟知的近似值，可采用取近似數(shù)法；第（6）題可采用放縮法比較大小?！靖形颉勘容^兩個(gè)數(shù)的大小，先判斷正負(fù)，

密：將函數(shù)值依次作差，再將所得結(jié)果作差，如果該函數(shù)是二次函數(shù)，兩次作差后，結(jié)果相等，否則就不是。這是教材上沒(méi)有講的二次函數(shù)小秘密，是不是所有的二次函數(shù)都有這個(gè)性質(zhì)呢？有必要推理論證。探索小秘密：設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），自變量x值以相等間隔的值h增加，即x1=m，x2=m+h，x3=m+2h，則y1=am2+bm+c，y2=a（m+h）2+b（m+h）+c=am2+2amh+ah2+bm+bh+c，y3=a（m+2h）2+b（m+2h）+c

.比較法比較法分作差比較與作商比較。作差比較為A＞B?A- B＞0，作商比較為作差比較的關(guān)鍵是判斷差的符號(hào)，操作步驟為作差、變形、判斷差的符號(hào)；而作商比較的關(guān)鍵是判斷商是否大于1，操作步驟為作商、變形、判斷商與1 的大小關(guān)系。（1）作差法：a＞b?a- b＞0不等式中含有豐富的數(shù)學(xué)思想，對(duì)這些思想的掌握，能夠有力的幫助我們解決高中不等式 的難題。通過(guò)上述不等式的研究反映出，不等式是各個(gè)階段都不可或缺的一部分，是解開(kāi)眾多數(shù)學(xué)問(wèn)題的鑰匙，所以要想在中考和高考中

100)一、通過(guò)作差來(lái)比較要想證明a0，即等價(jià)于a>b，a-b例1 給定一個(gè)集合，M∈{x|-1證明(a+b)2-(1+ab)2=a2+2ab+b2-(1+2ab+a2b2)=a2-1+b2(1-a2)=(a2-1)(1-b2).由題可知，a的取值范圍是-10，借此就可以得到(a+b)2<(1+ab)2，也就是所求的|a+b|<|1+ab|，此時(shí)a，b∈M.評(píng)析此題將平方作差法和因式分解法相結(jié)合，進(jìn)一步確定在a，b∈M這個(gè)范圍內(nèi)，a2-1和1-b2的符號(hào)，

式的n次方展開(kāi)式作差，結(jié)合正整數(shù)的n次方特點(diǎn)，再利用分析法、反證法來(lái)法證明費(fèi)馬大定理.【關(guān)鍵詞】二項(xiàng)式的n次方展開(kāi)式;作差;正整數(shù);正整數(shù)解17世紀(jì)，法國(guó)費(fèi)馬提出了費(fèi)馬大定理，這以后，許多人想證明它并取得了一定的成就，1995年，英國(guó)懷爾斯證明了它并得到了公認(rèn).費(fèi)馬大定理的內(nèi)容：關(guān)于x，y，z的方程xn+yn=zn，當(dāng)n>2時(shí)，沒(méi)有正整數(shù)解.這是一個(gè)含多個(gè)未知數(shù)的n次不定方程的解的問(wèn)題，該方程有四個(gè)未知數(shù)：x，y，z，n，最高項(xiàng)次數(shù)為n.如果正整數(shù)x，y，

密：將函數(shù)值依次作差，再將所得結(jié)果作差，如果該函數(shù)是二次函數(shù)，兩次作差后，結(jié)果相等，否則就不是。這是教材上沒(méi)有講的二次函數(shù)小秘密，是不是所有的二次函數(shù)都有這個(gè)性質(zhì)呢？有必要推理論證。探索小秘密：設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），自變量x值以相等間隔的值h增加，即x1=m，x2=m+h，x3=m+2h，則y1=am2+bm+c，y2=a（m+h）2+b（m+h）+c=am2+2amh+ah2+bm+bh+c，y3=a（m+2h）2+b（m+2h）+c

密：將函數(shù)值依次作差，再將所得結(jié)果作差，如果該函數(shù)是二次函數(shù)，兩次作差后，結(jié)果相等，否則就不是。這是教材上沒(méi)有講的二次函數(shù)小秘密，是不是所有的二次函數(shù)都有這個(gè)性質(zhì)呢？有必要推理論證。探索小秘密：設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），自變量x值以相等間隔的值h增加，即x1=m，x2=m+h，x3=m+2h，則y1=am2+bm+c，y2=a（m+h）2+b（m+h）+c=am2+2amh+ah2+bm+bh+c，y3=a（m+2h）2+b（m+2h）+c

用的解題思路是“作差比較”或“作商比較”．解法1(平方比較)作差比較大小,由于題設(shè)中帶絕對(duì)值的兩個(gè)數(shù)直接作差求解時(shí)變形去絕對(duì)值比較麻煩,故采取平方比較．先估計(jì)大小，明確方向不妨取a=0,b=1時(shí),知|f(a)-f(b)|小,這樣明確方向．于是|f(a)-f(b)|2<|a-b|2?2ab0,可知恒有|f(a)-f(b)|<|a-b|成立．解法2(作商比較)評(píng)注從作商比較過(guò)程看,分子有理化、放縮變形是可能會(huì)遇到的困難．2.遷移形,思路開(kāi)闊解法3(聯(lián)系平面幾何

包含了兩種方法：作差法和作商法。1.作差法，作差法主要是先將不等式兩邊的代數(shù)式作差，通過(guò)判斷差值的正負(fù)，來(lái)證明不等式兩邊的大小關(guān)系，在使用作差法證明不等式時(shí)，教師要指導(dǎo)學(xué)生采用不同的方法對(duì)不等式進(jìn)行變形，直到可以利用不等式的性質(zhì)，判斷出差值的正負(fù)為止。

，以供參考。一、作差法證明不等式最常用的方法是作差法。而在比較不等式大小時(shí)，我們也應(yīng)將這個(gè)方法作為首選。運(yùn)用作差法比較不等式大小的常規(guī)思路是，首先將兩個(gè)不等式作差，然后設(shè)法證明差為正數(shù)或負(fù)數(shù)。其中要用到配方法或基本不等式法。解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題，把a(bǔ)、b、c對(duì)應(yīng)的值看成相應(yīng)函數(shù)的交點(diǎn)的值，而函數(shù)的圖象容易畫(huà)出，由交點(diǎn)的情況容易知道a、b、c的大小關(guān)系。對(duì)于此類問(wèn)題，在使用其它方法不奏效的情況下，我們首先應(yīng)想到利用函數(shù)的圖象來(lái)求

分析法、作商法、作差法、反證法、放縮法等.在解題時(shí)，我們需要根據(jù)不同的題型進(jìn)行分析，選擇合適的方法，這樣才能有效地提升解題的效率.一、分析法分析法是指通過(guò)分析題目中的不等式關(guān)系，從未知推出已知的方法，屬于一種逆向思維的方式.在解題中，我們一般采用“要證明……，即需證明……，只需證明……”的句式來(lái)證明結(jié)論.二、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法也是證明不等式的一種基本方法，常用于證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題.在證明不等式時(shí)，我們可按下列步驟進(jìn)行：（1）證明當(dāng)取第一個(gè)值

logba方法二作差比較大小所以logba方法三賦值估算法方法四賦值函數(shù)單調(diào)性法令a=4,b=3,c=2，構(gòu)造函數(shù)f(x)=logx(x+1) (x>1)，所以f(x)在(1,+)上單調(diào)遞減.所以f(3)故選B.方法五賦值數(shù)列單調(diào)性法令a=4,b=3,c=2，構(gòu)造數(shù)列an=logn(n+1)(n≥2)，則an+1-an=logn+1(n+2)-logn(n+1)所以an+1a3，所以log34方法六對(duì)數(shù)化指數(shù)

本電量排序、依次作差的基礎(chǔ)上，按照油滴帶基本電荷個(gè)數(shù)多少對(duì)油滴電量進(jìn)行分類，并對(duì)各類的平均值再次實(shí)施逐項(xiàng)相減法． 但油滴電量平均值逐項(xiàng)相減法也存在不足，即在樣本中各個(gè)油滴帶基本電荷個(gè)數(shù)連續(xù)分布情況下，基本電荷電量的估計(jì)值只受帶基本電荷個(gè)數(shù)最多的油滴電量和帶基本電荷個(gè)數(shù)最少的油滴電量的影響，而不受帶基本電荷個(gè)數(shù)為其他值的油滴電量測(cè)量值影響． 本文對(duì)油滴電量逐項(xiàng)相減法的改進(jìn)思路是：把相鄰作差改為多重作差，即不僅相鄰作差，不相鄰也要作差，然后把所有差值進(jìn)行分類，

溧陽(yáng)中學(xué) 彭婷奕作差法指的是應(yīng)用有理數(shù)或式子的減法運(yùn)算來(lái)比較兩個(gè)有理數(shù)或式子的大小，因?yàn)槭潜容^兩個(gè)有理數(shù)或式子A與B的大小，需先求出A與B的差，即A-B，再結(jié)合計(jì)算結(jié)果來(lái)判斷。作差法與作商法一樣，都是比較兩數(shù)或兩式大小的慣用方法，高中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中要結(jié)合具體題目展開(kāi)教學(xué)，讓學(xué)生有效應(yīng)用作差法來(lái)判斷兩個(gè)有理數(shù)或式子差的結(jié)果。一、合理應(yīng)用作差法，結(jié)合分類討論思想解題作差法的步驟是先設(shè)要比較的式子A與B，作差：A-B；變形：對(duì)式子A-B進(jìn)行化簡(jiǎn)；判斷結(jié)果；

時(shí)，就可以使用“作差法”。作差法綜合來(lái)說(shuō)，集合了“觀察”“分析”“思考”和“表達(dá)”四個(gè)維度，學(xué)生在利用作差法解決問(wèn)題的過(guò)程中，也在不斷地積累新的知識(shí)點(diǎn)，從而在以后的解題過(guò)程中思路更加廣闊，更容易靈活應(yīng)對(duì)各類題型。一、作差法的概念“作差法”和“作商法”是數(shù)學(xué)中常用的比較大小的方法，對(duì)于高中數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，很多問(wèn)題都需要做許多輔助工作才能夠接近題目的核心內(nèi)容，所以作差法的應(yīng)用就成了最簡(jiǎn)單的輔助。簡(jiǎn)單舉例來(lái)說(shuō)，如果想要比較兩個(gè)有理數(shù)的大小，其中一種方法就是應(yīng)用有理數(shù)的

高中數(shù)學(xué)教材中的作差和作商為主線案例研究發(fā)現(xiàn)，主題設(shè)計(jì)理念既有重要教育價(jià)值，也會(huì)存在教學(xué)操作困難.【關(guān)鍵詞】主題設(shè)計(jì);作差;作商;高中數(shù)學(xué)教材1 研究緣起：課標(biāo)中的主線、主題理念《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》提出了課程設(shè)計(jì)的4條主線，即函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng).在教學(xué)實(shí)施部分，又倡導(dǎo)整體視角下把握課程內(nèi)容并進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)等理念，并在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀》中提出了“主線—主題—核心內(nèi)容”的一貫思想

圓不相交時(shí)，方程作差仍可得到二元一次方程，這個(gè)方程所反映的直線與已知兩圓是什么關(guān)系？”該問(wèn)題的提出很自然且很有價(jià)值，一方面，脫離開(kāi)幾何直觀意義的代數(shù)運(yùn)算就變成了純形式化的操作，往往容易忽視操作本身的意義；另一方面，在解析幾何中，方程具有直觀意義——曲線，當(dāng)曲線關(guān)系與方程的運(yùn)算關(guān)系之間建立不起聯(lián)系時(shí)，學(xué)生就產(chǎn)生了困惑。這個(gè)困惑恰恰可以反映出解析幾何的思維本質(zhì)特征，同時(shí)也反映出學(xué)生在數(shù)學(xué)推理的素養(yǎng)上還有待提高。教學(xué)內(nèi)容蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)分析：解析幾何的核心思想

；(Ⅱ)方法一 作差法令h(x)=x3+6x2+6x-24，顯然h(x)在[1,2]上為增函數(shù)．因?yàn)閔(1)=-110，所以?x1∈(1,2)，使得h(x1)=0．所以x∈(1,x1)時(shí)h(x)0，g″(x)>0，g′(x)為增函數(shù)．?x2∈(1,x1)使得g′(x2)=0．所以x∈(1,x2)時(shí)，g′(x)>0，g(x)為增函數(shù)；x∈(x2,2)時(shí)，g′(x)所以g(x)min=min{g(1),g(2)}．所以g(x)min=1-ln2>0．解法二 最

多，如三角換元，作差，巧用均值不等式，構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造柯西不等式等等，著眼于題目解析此題容易想到利用數(shù)學(xué)歸納法，但是證明過(guò)程復(fù)雜，另一方面使用作差法，要涉及復(fù)雜的因式分解，具有難度，還可以利用貝努利不等式變形來(lái)證明這個(gè)問(wèn)題，但在高中貝努利不等式只是選修內(nèi)容，不要求學(xué)生掌握，下面巧用等差中項(xiàng)性質(zhì)來(lái)詳細(xì)證明，等差中項(xiàng)的性質(zhì)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用遠(yuǎn)不止于此，能巧妙的借用此方法為學(xué)習(xí)者爭(zhēng)取了更多的答題時(shí)間，學(xué)習(xí)者只有置身解題實(shí)踐，不斷總結(jié)歸納解題的思想方法，才能真正的做

山縣馬力中學(xué))?作差法在求數(shù)列通項(xiàng)公式中的功效◇甘肅田廣當(dāng)遇到含有前n項(xiàng)和Sn或若干項(xiàng)和的數(shù)列題目時(shí),我們經(jīng)常通過(guò)將和式少寫(xiě)或者多寫(xiě)1項(xiàng),再將二者整體相減,只剩下第n項(xiàng)或n-1項(xiàng),這樣就得到相應(yīng)的遞推關(guān)系式,從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)問(wèn)題.但有時(shí)得不到我們想要的遞推公式,怎么辦?再作差,直到得到我們想要的關(guān)系式．1　1次作差可將多余項(xiàng)的干擾整體消除2　2次作差可以獲得相鄰2項(xiàng)的遞推關(guān)系2式相減,得即所以化簡(jiǎn)得又3　明確目標(biāo)盡顯“作差”的奇特效果3

除法.AaCb2作差比較法比較大小,最常用最基本的方法就是作差比較法.“作差—分解因式—比較與0的大小關(guān)系”,這是運(yùn)用作差比較法的基本解題步驟.Af(x1)Bf(x1)=f(x2);Cf(x1)>f(x2);Df(x1)與f(x2)的大小不確定3利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較有關(guān)指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的大小時(shí),要注意指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的靈活運(yùn)用.此外,要特別注意數(shù)字“0”和“1”在比較大小問(wèn)題中的橋梁作用.類似分析,由(1/2)b=log1/2

結(jié)：本題采用的是作差的方法，作差是比較大小最常見(jiàn)的一種方法，特別是有關(guān)多項(xiàng)式大小關(guān)系問(wèn)題常用此法.作差后和0比較大小，所以最好將其分解便于判斷符號(hào).對(duì)于正數(shù)，涉及冪的有時(shí)可考慮作商.例2：（2009年江蘇10）.已知a=■，函數(shù)f（x）=a■，若實(shí)數(shù)m，n滿足f（m）>f（n），則m，n的大小關(guān)系為？搖 ？搖.解：∵a=■∈（0，1），∴函數(shù)f（x）=a■在R上遞減.由f（m）>f（n）得m總結(jié)：本題利用函數(shù)的單調(diào)性，比較大小是函數(shù)的單調(diào)性重要應(yīng)用之一，特

值為7.策略二：作差的方法求最值除了套用常規(guī)求函數(shù)最值的方法，數(shù)列中由于其變量是正整數(shù)這一特殊性，決定了其還具有變通的方法求最值，即通過(guò)作差或作商的方法比較a■與a■的大小確定其單調(diào)性.具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)a■-a■>0則a■單調(diào)遞增；a■-a■<0則a■單調(diào)遞減.例2：a■=■，b■=a■·a■，T■為b■的前n項(xiàng)和，對(duì)任意的自然數(shù)n，存在實(shí)數(shù)T滿足T■≥T成立，求T的最大值.分析：把T■視作關(guān)于n的一個(gè)函數(shù)，再通過(guò)作差研究其單調(diào)性.解：b■=a■·a■=■·■

方程并對(duì)所得兩式作差，可得到一個(gè)弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)與直線AB的斜率（若斜率存在）之間的關(guān)系式，由此可以大大減小運(yùn)算量，我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”.當(dāng)然，“點(diǎn)差法”的運(yùn)用有一定的局限性，類似的問(wèn)題當(dāng)應(yīng)用“點(diǎn)差法”無(wú)效時(shí)，我們不妨可用下面的“點(diǎn)乘法”，即將直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入圓錐曲線方程并將所得兩式相乘，可得到一個(gè)三角形△OAB（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積與弦AB的端點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式，從而可以大大減小運(yùn)算量，我們稱這種代點(diǎn)相乘的方法為“點(diǎn)乘

；數(shù)軸；絕對(duì)值；作差中圖分類號(hào)：G643 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）20-082-02整個(gè)初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，比較兩個(gè)數(shù)的大小有六種方法?！吨袑W(xué)生數(shù)理化中》有一篇題為《比較負(fù)數(shù)大小的6絕招》中這樣介紹道：第一招：利用法則比較；第二招：利用數(shù)軸比較；第三招：利用求差法比較；第四招：利用球商法比較；第五招：利用倒數(shù)比較；第六招：利用同分子（同分母）比較。學(xué)生進(jìn)入初中階段，在學(xué)習(xí)北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章教材學(xué)習(xí)有理數(shù)之后，比較

數(shù)學(xué)歸納法證明和作差(商)證明，也可用放縮法證明，數(shù)學(xué)歸納法證明和作差(商)證明好想也好做，放縮法證明好做不好想.題目 當(dāng)n≥3且n∈N*時(shí)，求證：2e﹏-2猲!<玪n3?玪n4?玪n5?…?玪n玭題目是某市2008級(jí)第二次高考適應(yīng)性考試?yán)?2(Ⅲ)，參考答案及評(píng)分意見(jiàn)用的是放縮法，為便于與數(shù)學(xué)歸納法比較，先抄錄于后：證明：令f(x)=玪n玿x,則f′(x)=1-玪n玿x2,當(dāng)x>e時(shí)，f′(x)<0,∴f(x)在(e,+∞)上為減函數(shù)，∴當(dāng)x>e時(shí)，f(