如何證明不等式

李欣 謝春暖

在學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會遇到不等式證明問題.此類問題─般側(cè)重于考查同學(xué)們的邏輯推理和綜合分析能力.證明不等式的方法有很多種，如構(gòu)造函數(shù)法、基本不等式法、比較法、綜合法、放縮法等.本文重點(diǎn)談一談證明不等式的三種常用方法：比較法、綜合法、放縮法.

一、比較法

比較法常用于證明不等式以及比較兩個數(shù)的大小.比較法主要有兩種：作商比較法和作差比較法.在運(yùn)用比較法證明不等式時，需首先觀察不等式左右兩邊的式子，若兩邊的式子為多項(xiàng)式，可采用作差比較法來求證;若為單項(xiàng)式，可采用作商比較法進(jìn)行證明.然后，將左右兩邊的式子作差或作商，將所得的差與0比較，商與1比較.

例1.已知正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，證明： a2-b2 +c2≥（a-b+c）°.

證明：將不等式兩邊的式子作差得：a2-b+c2-（a -b+c）= 2（ab-ac-b +bc）=2b（a-2b+c），

. a.b，c成等比數(shù)列，.. a-2b+c=（a - c）o，.. 2b（a - 2b+c）=2b（√a -√c）=0 ，

即a-b+c2≥（a-b+c） .

在運(yùn)用作差比較法證明不等式時，若A-B>0 ，則A>B ;若A一B<0 ，則A<B .在運(yùn)用作商比較法證明不等式時，對于同號的A、B，若A>1 ，則A>B ;若B1，則A<B.

二，綜合法

綜合法適用于證明一些形式較為復(fù)雜的不等式.綜合法是指由題目的已知條件出發(fā)，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，利用相關(guān)的定理、公式等進(jìn)行分析、推理，直至證明不等式成立.運(yùn)用綜合法證明不等式的一般思路是：①結(jié)合不等式的基本性質(zhì)等對原不等式進(jìn)行整理、變形;②根據(jù)已知條件和不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行合理的分析和推理，最后證明不等式成立.

例2.已知a，b，c e（0，+o），證明： a8+b+c≥ab c+abc3+ a2bc3 .

證明：由題意可知，a，b，c e（0，+ oo） ，

則3a°+3b +2c≥aR+a3+a+b3+b+b+c *+ c 8%（a）（6）（c"） =8ab'b ，

同理可得：3a8+2b3+3c8≥8a bc3，2a8+ 3b8++3c8≥8a2bc，

將上述三式相加得：8a3+8b8+8c8≥8a bc2+a b c+8a2b c，

化簡得： a8+b+c≥ab c+a'b c'+a'bc，因此，原不等式成立.

解答本題，首先需明確目標(biāo)不等式兩邊式子的特征，然后運(yùn)用基本不等式的變形式：a，+a，+a+…+a m≥"aa ;a4…a，以及不等式的可加性來證明結(jié)論.運(yùn)用綜合法證明不等式，要著重分析已知條件與求證目標(biāo)之間，或不等式左右兩邊的式子之間的差異與聯(lián)系.合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，選擇恰當(dāng)?shù)墓?、定理等進(jìn)行求證.

三.放縮法

放縮法是指將原不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小，并利用不等式的傳遞性證明不等式成立.常用的放縮方式有運(yùn)用基本不等式、增減項(xiàng)、利用函數(shù)的單調(diào)性等.在放縮的過程中要把握放縮的“度”，不能“放”得過大，也不能“縮”得過小.

例3.已知a，b，ceR’，證明：（c + a）（a +b）

（a+ b）（b+c）+.（a+c）（ct1.

證明：將（a√b+c +bva +c +cva+b）'> a（b+c）+b（c + a）+c（a + b）+ 2ab 、（b+ c）（c + a）> a（b+c）+b（c +a）+c（a + b）+ 2abc=（a +b）（b+c）（c + a），

開方得：ab+c +b√a+c+cva+b>.（b+c）（c + a）（a + b） ，

因此，不等式（c + a）（a+b）J（a+ b）（b+c）

不等式的右邊為常數(shù)，需對不等式左邊的式子進(jìn)行變形、放縮，通過活用完全平方式、基本不等式，并根據(jù)不等式的傳遞性進(jìn)行放縮﹐得到ab+ c +ba+ c +cva+b>（b+ c）（c + a）（a + b），從而證明不等式成立.

不等式證明題一般難度較大，同學(xué)們需靈活運(yùn)用不等式知識和相關(guān)的定理、公式等對不等式進(jìn)行變形、整合，才能順利解題.在變形、整合的過程中，要明確不等式的結(jié)構(gòu)特征，建立已知條件與求證目標(biāo)之間的聯(lián)系，合理運(yùn)用比較法、綜合法、放縮法來證明結(jié)論.

（作者單位：山東省墾利第一中學(xué)）