對一道不等式證明題解法的探究

張春筍

不等式證明問題側(cè)重于考查同學(xué)們的邏輯思維和推理分析能力.證明不等式成立的方法有很多種，如比較法、基本不等式法、配方法、三角換元法等.本文結(jié)合一道例題，來探討一下求解不等式證明題的方法.

例題：已知 f （x）= |x + 1| + |2x - 1| - 12 的最小值為m .

（1）求 m 的值;

（2）若a，b為正實數(shù)，且 a2 + b2 = |m| ，證明：

本題的第一個問題較為簡單，只需求得函數(shù) f （x）的最小值，便可求得 m 的值.解答第二個問題，需結(jié)合第一個問題中的結(jié)論進行分析.仔細分析可發(fā)現(xiàn)第二個問題為雙變量不等式問題，可采用基本不等式法和比較法來求解.

方法1：基本不等式法

基本不等式是證明雙變量不等式問題的重要工具.一般地，當(dāng) a，b ∈ R+ 時，a + b ≥ 2 ab ，當(dāng)且僅當(dāng)a = b 時，上式為基本不等式.運用基本不等式證明不等式要注意“一正”“二定”“三相等”三個前提條件;要建立已知條件和所證目標(biāo)之間的聯(lián)系，合理配湊出兩式的和或積.若其中之一為定值，則可利用基本不等式求得最值，進而證明不等式成立.

證法一：由（1）可知 a2 + b

由基本不等式可得a4 + b

本題中 a，b均為實數(shù)，可以使用基本不等式的變形式 a + b2 ≥ ab 進行求證，將 a4 + b4 轉(zhuǎn)化為 （a2 + b2）22 ，并建立待證不等式與 （a2 + b222 之間的聯(lián)系，結(jié)合a2 + b2 = 1，即可證明不等式成立.

證法二：由（1）可知，a2 + b2 = 1，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時等號成立，

則

因此不等式成立.

首先將待證不等式左側(cè)的式子變形，將其配方成為，再利用基本不等式得到兩式之和：，從而證明不等式成立.運用基本不等式證明不等式的關(guān)鍵在于配湊出兩式的和或者積.常用的配湊技巧有：（1）配方法.即通過恒等變形將不等式的某一部分化為完全平方式或幾個完全平方式的和;（2）拆項、補項.證法一就是通過拆項來配湊出兩式的和;（3）湊系數(shù).即在和式或積式的某一個單項式前面乘以一個常數(shù).

方法2：作差法

作差法也稱作差比較法.運用作差法證明不等式，需將不等式兩邊的式子相減，然后通過恒等變形將差式化簡，并將所得的結(jié)果與0進行比較.若 A - B > 0 ，則A > B ;若 A - B < 0 ，則 A < B .作差法一般適用于求解不等式中含有多項式的題目.

證明：由（1）可知，a2 + b

解答本題的關(guān)鍵是比較 a3a 與1的大小，將待證不等式左右兩邊的式子作差，采用作差法來求解.通過通分、因式分解，便可證明 a33a ≥ 1 ，從而證明不等式成立.運用作差法比較不等式的步驟是：作差——化簡——與0比較——得出結(jié)論.

相比較而言，作差法較為簡單，基本不等式法比較常用.但無論運用哪種方法來證明不等式，都要將已知關(guān)系式與所證目標(biāo)關(guān)聯(lián)起來，以明確不等式變形的方向，然后將不等式進行合理的變形，如配湊兩式的和或積、作差等，從而證明結(jié)論.

（作者單位：江蘇省阜寧縣第一高級中學(xué)）