解析作差法在高中數(shù)學(xué)中的有效應(yīng)用

江蘇省溧陽中學(xué) 彭婷奕

作差法指的是應(yīng)用有理數(shù)或式子的減法運(yùn)算來比較兩個有理數(shù)或式子的大小，因?yàn)槭潜容^兩個有理數(shù)或式子A與B的大小，需先求出A與B的差，即A-B，再結(jié)合計算結(jié)果來判斷。作差法與作商法一樣，都是比較兩數(shù)或兩式大小的慣用方法，高中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中要結(jié)合具體題目展開教學(xué)，讓學(xué)生有效應(yīng)用作差法來判斷兩個有理數(shù)或式子差的結(jié)果。

一、合理應(yīng)用作差法，結(jié)合分類討論思想解題

作差法的步驟是先設(shè)要比較的式子A與B，作差：A-B；變形：對式子A-B進(jìn)行化簡；判斷結(jié)果；得出結(jié)論A＞B，A=B或A＜B。在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，不少題目的解答都需要用到分類討論思想，教師需引導(dǎo)學(xué)生合理應(yīng)用作差法結(jié)合分類討論思想解題，也就是將差式因式分解后，部分因式一些量的取值和符號有關(guān)，這就要用到分類討論思想判斷來符號。

在上述案例中，學(xué)生需對a的兩種情況進(jìn)行分類討論，不過要注意確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，堅持不遺漏、不重復(fù)的原則，最終通過合理分類對兩個式子進(jìn)行作差判斷，從而得出結(jié)果。

二、恰當(dāng)運(yùn)用作差法，巧妙結(jié)合函數(shù)思想解題

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要想有效運(yùn)用作差法來解題，教師可巧妙結(jié)合函數(shù)思想，即把兩個有理數(shù)或式子的差當(dāng)作某一變量的函數(shù)，通過對函數(shù)解析式的變形與整理，結(jié)合函數(shù)知識判斷結(jié)果的符號。對此，高中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中，應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生根據(jù)題設(shè)條件把所求的問題轉(zhuǎn)化為對某一函數(shù)性質(zhì)的討論，再應(yīng)用作差法處理題目，使問題得到解決。

比如：已知A=x2+4x，B=5x-3，試比較A和B的大小。

解答：兩式相減得出新函數(shù)f（x）=x2+4x-（5x-3）=x2-x+3=，即，也就是f（x）＞0，結(jié)果為A＞B。

再如：已知a∈R，x∈R，比較x2-x+1和-2a2-2ax的大小。

解答：兩式相堿得出f（x）=x2-x+1-（-2a2-2ax）=x2-x+1+2a2+2ax，化簡后得出x2+（2a-1）x+（2a2+1）。根據(jù)題意得知Δ=（2a-1）2-4（2a2+1）=-4a2-4a-3=-（2a+1）2-2 ＜ 0，由于 f（x）是二次函數(shù)，且圖像開口向上，那么f（x）＞0，則A＞B。

如此，學(xué)生通過作差法將這兩個例題中的式子相減，均得出關(guān)于x的二次函數(shù)，第一道題結(jié)合配方法求出函數(shù)的值域，對大小進(jìn)行比較，第二道題則根據(jù)函數(shù)圖像的特征來比較大小。

三、正確使用作差法，運(yùn)用劃歸轉(zhuǎn)化思想解題

劃歸與轉(zhuǎn)化思想其實(shí)就是把未知變?yōu)橐阎?，將作差后的式子轉(zhuǎn)化為可以采用已知條件來判斷結(jié)果符號的因式。轉(zhuǎn)化方法通常是配方法與分解法；轉(zhuǎn)化結(jié)果一般是常數(shù)、部分因式的積、常數(shù)與一些平方和。所以，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)帶領(lǐng)學(xué)生將一些抽象問題轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w問題，尋求抽象問題的解題規(guī)律，使其找到問題解決的方法與突破口，增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)自信。

如：已知x＞3，比較x3+3和3x2+x的大小。

解析：設(shè)x3+3=A，3x2+x=B，那么A-B=x3+3-（3x2+x）=x2（x-3）-（x-3），將式子化簡變形后轉(zhuǎn)化成（x-3）（x+1）（x-1），由于題目中給出x＞3，所以x-3＞0，x+1＞0，x-1＞0，則（x-3）（x+1）（x-1）＞0，即為x3+3＞3x2+x。

隨后組織學(xué)生反思：該道題目為確定差的符號，在變形中要用到因式分解，以此得出判斷結(jié)果；思維過程：無法做到直接判斷——轉(zhuǎn)化（難以確定差的符號）——轉(zhuǎn)化（判斷積的符號）——轉(zhuǎn)化（判斷積中因式的符號）。

針對上述案例，學(xué)生搭配劃歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想正確使用作差法，通過合理轉(zhuǎn)化將題目中的因式由減法變成乘法，以此開闊解題思路和活化思維，快速求出正確答案。

總而言之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師需充分意識到作差法對解題的作用和效果，輔助學(xué)生學(xué)會正確應(yīng)用作差法來解題，并科學(xué)融合分類討論、函數(shù)、劃歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，傾力培養(yǎng)思維能力和解題能力，使其掌握更多的解題技巧和規(guī)律，構(gòu)建高效的數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展。