函數(shù)中比較大小問(wèn)題

張艷

函數(shù)中有一類常見(jiàn)的題型——比較大小，下面結(jié)合2014年江蘇高考數(shù)學(xué)第19題總結(jié)這類題的常見(jiàn)解法，探究這類題的解題規(guī)律.

引例：（2014年江蘇第19題）已知函數(shù)f（x）=e■+e■，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）證明：f（x）是R上的偶函數(shù)；

（2）若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e■+m-1在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）已知正數(shù)a滿足：存在x■∈[1，+∞），使得f（x■）

為了解決這個(gè)題，先研究以下幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題：

例1：（2013江蘇第21題）已知：a≥b>0，求證：2a■-b■≥2ab■-a■b.

證明：∵2a■-b■-2ab■+a■b=（2a■-2ab■）+（a■b-b■）=2a（a■-b■）+b（a■-b■）

=（a■-b■）（2a+b）=（a+b）（a-b）（2a+b）

又∵a≥b>0，∴a+b>0，a-b≥0，2a+b≥0

∴（a+b）（a-b）（2a+b）≥0

∴2a■-b■-2ab■+a■b≥0

∴2a■-b■≥2ab■-a■b

總結(jié)：本題采用的是作差的方法，作差是比較大小最常見(jiàn)的一種方法，特別是有關(guān)多項(xiàng)式大小關(guān)系問(wèn)題常用此法.作差后和0比較大小，所以最好將其分解便于判斷符號(hào).對(duì)于正數(shù)，涉及冪的有時(shí)可考慮作商.

例2：（2009年江蘇10）.已知a=■，函數(shù)f（x）=a■，若實(shí)數(shù)m，n滿足f（m）>f（n），則m，n的大小關(guān)系為？搖 ？搖.

解：∵a=■∈（0，1），∴函數(shù)f（x）=a■在R上遞減.

由f（m）>f（n）得m

總結(jié)：本題利用函數(shù)的單調(diào)性，比較大小是函數(shù)的單調(diào)性重要應(yīng)用之一，特別是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)中的比較大小問(wèn)題.

例3：已知a=5log■■，b=5log■■，c=■log■■，則a，b，c的大小關(guān)系是？搖 ？搖.

解：∵log■■>log■■=1，且■<3.4

∴l(xiāng)og■■

∵log■■1

∴l(xiāng)og■■

∴l(xiāng)og■■>log■■>log■■

∵y=5■為增函數(shù)，∴5log■■>5log■■>5log■■

即5log■■>5log■■>5log■■，故a>c>b.

總結(jié)：如果不好直接比較大小，則可以間接比較，中間量便是其中一種重要的方法，常以0，1，-1為中間量.

例4：（1983年全國(guó)）已知a，b為實(shí)數(shù)，并且eb■.

證明：當(dāng)eb■，只要證blna>alnb，即只要證■>■.

考慮函數(shù)y=■（x>0），因?yàn)楫?dāng)x>e時(shí)，y′=■<0，所以函數(shù)y=■在（e，+∞）內(nèi)是減函數(shù).

因?yàn)閑■，即得a■>b■.

總結(jié)：通過(guò)作差，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，也是比較大小的一種重要方法.

有了上面的基礎(chǔ)現(xiàn)在再研究2014年高考第19題.

解：（1）、（2）問(wèn)此處省略

（3）f′（x）=e■-e■，當(dāng)x>1時(shí)f′（x）>0，∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)增.

令h（x）=a（-x■+3x），h′（x）=-3ax（x-1）

∵a>0，x>1，∴h′（x）<0，即h（x）在x∈（1，+∞）上單調(diào)減.

∵存在x■∈[1，+∞），使得f（x■）

∴f（1）=e+■<2a，即a>■（e+■）

∵ln■=lna■-lne■=（e-1）lna-a+1

設(shè)m（a）=（e-1）lna-a+1，則m′（a）=■-1=■，a>■（e+■）

當(dāng)■（e+■）0，m（a）單調(diào)增；

當(dāng)a>e-1時(shí)，m′（a）<0，m（a）單調(diào)減.

因此m（a）至多有兩個(gè)零點(diǎn)，而m（1）=m（e）=0

∴當(dāng)a>e時(shí)，m（a）<0，a■

當(dāng)■（e+■）e■；

當(dāng)a=e時(shí)，m（a）=0，a■=e■.

函數(shù)中比較大小是一種常見(jiàn)題型.本講通過(guò)四道例題一道引例總結(jié)了比較大小的四種常見(jiàn)方法：作差、利用函數(shù)單調(diào)性、中間量、構(gòu)造函數(shù).