高中數(shù)學教材中的差商主題研究

胡晉賓 凌曉牧

【摘要】《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出主題設(shè)計理念，倡導借助核心和關(guān)鍵知識貫通課程和教學，凸顯全局性與關(guān)聯(lián)性，規(guī)避碎片化與孤立化等.以人教B版高中數(shù)學教材中的作差和作商為主線案例研究發(fā)現(xiàn)，主題設(shè)計理念既有重要教育價值，也會存在教學操作困難.

【關(guān)鍵詞】主題設(shè)計;作差;作商;高中數(shù)學教材

1 研究緣起：課標中的主線、主題理念

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出了課程設(shè)計的4條主線，即函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動.在教學實施部分，又倡導整體視角下把握課程內(nèi)容并進行教學設(shè)計等理念，并在《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）解讀》中提出了“主線—主題—核心內(nèi)容”的一貫思想[1].其中的主題和核心內(nèi)容是比上述主線低一級的“主線”，它們均不再局限于一個課時，而將視野拓寬到單元、章節(jié)或主題.具體到主題而言，常是由教師根據(jù)教學需要來設(shè)計，產(chǎn)生路徑主要有3種：①以重要概念或知識為主線組織的知識類主題;②以數(shù)學思想方法為主線組織的方法類主題;③以數(shù)學學科核心素養(yǎng)、基本能力為主線組織的素養(yǎng)類主題.

提出“主線—主題—核心內(nèi)容”理念的出發(fā)點是，希望聚焦數(shù)學中的核心和關(guān)鍵知識、能力、素養(yǎng)，防止知識碎片化、孤立化、離散化，寄希望于從全局性、高觀點和關(guān)聯(lián)性視野來看數(shù)學學習和教學.雖然有關(guān)主線的觀點學界多有倡導，但是有關(guān)的主題和核心內(nèi)容的案例研究并不多見 （課標解讀中給出了函數(shù)單調(diào)性的主題教學設(shè)計建議）.以下結(jié)合研讀人教B版教材[2]（以下簡稱教材）中差商主題的處理，談?wù)勚黝}教材的編寫設(shè)計以及對教學實踐的啟迪.2 主題簡介：作為數(shù)學主題的差商（作差與作商）

本文中的差商是指，兩個量作差和作商.眾所周知，數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學，而形式的差異和數(shù)量的比較是數(shù)學的重要內(nèi)容.在比的思想的數(shù)量化方面，最為常見的手段也就是作差和作商.由于數(shù)和形的內(nèi)在一致性，因此數(shù)量的差異又往往能夠解釋形狀的變化，反過來形狀的改變也會導致數(shù)量的變更，這樣的互動關(guān)系體現(xiàn)出數(shù)學知識的本質(zhì)性、統(tǒng)一性與和諧性.

差商雖然是一個并不復(fù)雜的概念，但是卻能作為節(jié)點串聯(lián)起數(shù)學教育中的眾多知識.在小學和初中，差商主要表現(xiàn)為作差和作商，比如小學中的商和分數(shù)、比例等，初中的正反比例函數(shù)、列方程和不等式.而在高中，差商涉及函數(shù)（包括三角函數(shù)）、解析幾何、統(tǒng)計概率、數(shù)列和導數(shù)等相關(guān)知識.差商具有基礎(chǔ)性、聯(lián)系性和應(yīng)用性等課程主題的典型特征.（正因如此，關(guān)于比率算法與比例的理論成為《九章算術(shù)》中討論最為詳細、應(yīng)用最為廣泛的基礎(chǔ)，提綱挈領(lǐng)地貫通全書）3 案例呈現(xiàn)：人教B版教材中的差商主題設(shè)計

4 啟迪反思：主題設(shè)計的課程與教學考察

通過上述梳理，我們明確了人教B版利用差商思想，來貫穿單調(diào)性、斜率、導數(shù)等內(nèi)容編寫的良苦用心.這啟迪我們，教師在教學時需要整體上把握教材，抓住數(shù)學中的核心知識，凸顯數(shù)學主線的教學引領(lǐng)，加強數(shù)學教學的知識貫通.除此之外，還有以下幾點需要注意.

4.1從理論研究來看，主題設(shè)計具有重要的教育價值

學術(shù)界有一些以大觀念、核心概念為題名的研究，這和上述主線、主題的思想是一致的.以大觀念（big idea）為例，它是指在某一學科中居于重要地位，對學科其他內(nèi)容更具統(tǒng)攝力、關(guān)聯(lián)性、聚焦性的概念.研究表明，專業(yè)領(lǐng)域的知識結(jié)構(gòu)主要是圍繞核心概念或“大觀點”組織的、用圖式表征的大塊知識單元構(gòu)成，它們在解決復(fù)雜問題和促成遷移方面起了重要作用[3].大觀念的益處是：“大概念（大觀念）應(yīng)當能夠貫穿于整個數(shù)學課程，應(yīng)當是最重要、最核心、最具統(tǒng)整性的數(shù)學;應(yīng)當和其他知識點具有充分的聯(lián)系;應(yīng)當體現(xiàn)出數(shù)學的本質(zhì)特點;應(yīng)當為后續(xù)更高層次的學習提供必要的基礎(chǔ)”[1].國外的相關(guān)研究也揭示，強調(diào)具有基礎(chǔ)性、本質(zhì)性、聯(lián)系性和應(yīng)用性等特點的核心概念（知識），能夠突出對數(shù)學本質(zhì)的理解[4].

4.2從課程教材角度來看，主題設(shè)計是一種課程統(tǒng)整

“在課程統(tǒng)整中，計劃始于一中心主題，然后借由確認與此一主題或活動相關(guān)的大觀念或概念，展開課程的計劃”[5].從本質(zhì)來看，大觀念、數(shù)學主線是對當下多元化課程離散式分裂的一種回歸式期盼，也是對數(shù)學學科知識發(fā)展統(tǒng)一性理解的一種強調(diào)式整合.歷史上最為典型并且影響至今的“大觀點”，莫過于F·克萊因倡導的“以函數(shù)為綱”了.除此以外，比較有影響的觀點還有：尤金斯認為存在有“整數(shù)—有理數(shù)—實數(shù)—復(fù)數(shù)和向量”等9條中學數(shù)學課程主線[6]，王尚志等提出的數(shù)學課程有函數(shù)、幾何、運算、算法、統(tǒng)計概率與數(shù)學應(yīng)用這樣6條主線[7]，等等.這對課程設(shè)計和教材編寫的啟迪是，需要高度重視數(shù)學知識內(nèi)部的聯(lián)系，努力尋求數(shù)學知識本身的節(jié)點，將這些節(jié)點凸顯出來，作為鏈接知識的紐帶和線索，使得核心知識在知識組織的前后貫通方面，起到承前啟后、循環(huán)上升的目的.數(shù)學課程大主線就如同高速公路和航空線路，而小主線就如同省級公路和縣鄉(xiāng)小道.如果在編寫教材時，大主線縱橫捭闔，小主線犬牙交錯，那么最后教材就會形成一個涇渭分明而又鉚合有力的豐富網(wǎng)絡(luò)，從而保證數(shù)學學習在循環(huán)上升中不斷累積提升.在呈現(xiàn)教材時，對于不同的學科分支知識，不應(yīng)該條塊分割“老死不相往來”，而應(yīng)該隨時隨地加強聯(lián)系和呼應(yīng)，避免知識學習孤立化和碎片化.

4.3從數(shù)學教學上來看，主題設(shè)計會存在諸多困難教師的確應(yīng)該從整體和宏觀上進行課程和教材理解，跳出微觀視野進行教學設(shè)計實踐，引導學生打通前后知識，揭示數(shù)學思想，提升核心素養(yǎng).同時我們也應(yīng)認識到，雖然主題、主線的理念能夠體現(xiàn)數(shù)學學科的某些特點并且具有較好的教育價值，但是受制于素養(yǎng)發(fā)展的長期性、曲折性，評價與測量的艱難性，教師教學駕馭的復(fù)雜性，以及主線涉及內(nèi)容的分散性，教學落實將會存在諸多問題，遭遇不少挑戰(zhàn).

4.4從主題分類來看，主題設(shè)計應(yīng)該包含數(shù)學觀念滲透如果說主題有知識、方法和素養(yǎng)層面的區(qū)分的話[1]，那么我們認為還缺少一個主題，那就是數(shù)學觀念層面.從主題課程和教學設(shè)計的立場來看，這會改變學生和教師的數(shù)學觀，也就是說，主題和主線思想體現(xiàn)和反映出來不同的數(shù)學觀——知識是不斷發(fā)展的，前后聯(lián)系的，經(jīng)驗與擬經(jīng)驗的，甚至是可誤的，層層鋪墊和循環(huán)上升的，等等.這些在課程和教學中的恰當?shù)胤剑紤?yīng)該有所滲透和揭示.

參考文獻

[1]史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018：175;53;256.

[2]高存明.普通高中數(shù)學課程標準實驗教科書 高中數(shù)學（人教B版必修1～選修2-3）[M].北京：人民教育出版社，2010.

[3]鐘啟泉.課程論[M].北京：教育科學出版社，2011：197.

[4]Anon.An Overview of Materials Adaptations（Vo1.1）[R]//E.J.Kameenui & D.C.Simmons.Toward Successful Inclusion of Students with Disabilities：The Architecture of Instruction.Reston，VA：Council for Exceptional Children，1999.

[5]James A. Beane.課程統(tǒng)整[M].單文經(jīng)等譯.上海：華東師范大學出版社，2003：15.

[6]魯小莉.中學數(shù)學課程發(fā)展的九條主線[J].數(shù)學教學，2010（9）.

[7]王尚志，張思明.走進高中數(shù)學新課程[M].上海：華東師范大學出版社，2008：12.