證明不等式的幾種方法

李秋陽(yáng)

不等式證明問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題.證明不等式的方法多種多樣，常見的有分析法、作商法、作差法、反證法、放縮法等.在解題時(shí)，我們需要根據(jù)不同的題型進(jìn)行分析，選擇合適的方法，這樣才能有效地提升解題的效率.

一、分析法

分析法是指通過(guò)分析題目中的不等式關(guān)系，從未知推出已知的方法，屬于一種逆向思維的方式.在解題中，我們一般采用“要證明……，即需證明……，只需證明……”的句式來(lái)證明結(jié)論.

二、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法也是證明不等式的一種基本方法，常用于證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的不等式問(wèn)題.在證明不等式時(shí)，我們可按下列步驟進(jìn)行：

（1）證明當(dāng)取第一個(gè)值（∈N）時(shí)不等式成立;

（2）假設(shè)=（≥，∈N）時(shí)不等式成立，證明當(dāng)=時(shí)不等式也成立.

完成了這兩個(gè)步驟，我們就可以斷定要證明的不等式對(duì)從開始的所有正整數(shù)都成立.

例2.已知數(shù)列{}滿足=2（1），且=2-xn（xn）（∈N），證明：0<<1;

證明：￠ù當(dāng)=1時(shí)，=2（1）?ê（0，1），不等式成立.

￠ú假設(shè)當(dāng)=（?êN，≥1）時(shí)，結(jié)論成立，即?ê（0，1），

則當(dāng)=+1時(shí)，=2-xk（xk），

因?yàn)?em>?ê（0，1），所以2->0，即>0.

又因?yàn)?em>_k-1=2-xk（xk-1）<0，所以0<<1.

綜合￠ù￠ú可知0<<1.

這里主要運(yùn)用了數(shù)學(xué)歸納法，采用了上述步驟分別證明了當(dāng)n=1和n=k+1時(shí)不等式均成立.

三、比較法

比較法主要有作商法和作差法.作商（差）法是通過(guò)將不等式左右兩邊的函數(shù)式進(jìn)行作商（差），然后將得出的值與1（0）進(jìn)行比較的方法.在證明不等式時(shí)，我們要根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征選擇比較的方法，若不等式兩邊的式子是冪、對(duì)數(shù)、乘積的形式，一般選擇作商法;若不等式兩邊的式子是除式、和式、差式，一般選擇作差法.

在證明該不等式時(shí)，我們首先將不等式變形，通過(guò)作差得到一個(gè)與原不等式等價(jià)的新不等式，然后通過(guò)分解因式，利用完全平方公式和配方法證明了新不等式成立，從而證明結(jié)論成立.

證明不等式的方法多種多樣，并且每一種證明方法并不是孤立存在的，有時(shí)一道題目往往需要結(jié)合多種方法才能得以獲解，因此同學(xué)們要牢固掌握這些方法，并靈活地將它們應(yīng)用于解題當(dāng)中.

（作者單位：江蘇省包場(chǎng)高級(jí)中學(xué)）