一道初等數(shù)學(xué)題解法的高觀點(diǎn)思考

徐文藝

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)旅游烹飪學(xué)院營(yíng)養(yǎng)2001班，225000)

一、引言

轉(zhuǎn)眼進(jìn)入大學(xué)校園已兩個(gè)多月了,通過(guò)《高等數(shù)學(xué)》課程的學(xué)習(xí),筆者接受了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些思想,對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了新的認(rèn)知,又觸發(fā)了我對(duì)數(shù)學(xué)的研究興趣．記得曾做個(gè)如下一道題.

這是一道能激發(fā)學(xué)生思維火花的典型習(xí)題.在初步理解“數(shù)學(xué)是研究數(shù)、形和關(guān)系的科學(xué)”的觀點(diǎn)后,對(duì)該題進(jìn)行了再思考,獲得了新認(rèn)識(shí)，本文據(jù)此對(duì)這道題再作一些探索．

二、思考

1.囿于數(shù),技巧解困

在已知函數(shù)解析式的條件下比較兩個(gè)數(shù)的大小,如果局限在“數(shù)”的認(rèn)知范圍,常用的解題思路是“作差比較”或“作商比較”．

解法1(平方比較)

作差比較大小,由于題設(shè)中帶絕對(duì)值的兩個(gè)數(shù)直接作差求解時(shí)變形去絕對(duì)值比較麻煩,故采取平方比較．先估計(jì)大小，明確方向不妨取a=0,b=1時(shí),知|f(a)-f(b)|小,這樣明確方向．于是

|f(a)-f(b)|2<|a-b|2

?2ab0,

可知恒有|f(a)-f(b)|<|a-b|成立．

解法2(作商比較)

評(píng)注從作商比較過(guò)程看,分子有理化、放縮變形是可能會(huì)遇到的困難．

2.遷移形,思路開(kāi)闊

解法3(聯(lián)系平面幾何)

解法4(聯(lián)系解析幾何)

解法5(聯(lián)系向量)

解法6(聯(lián)系復(fù)數(shù))

3.放眼關(guān)系,思維提升

如果從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象“關(guān)系”角度考慮本題的解法,還可以得到以下三種解題方法．

解法7(聯(lián)系解析幾何)

解法8(換元法)

解法9(利用中值定理)

三、啟示

記得語(yǔ)文老師曾說(shuō)過(guò),好戲是“捏”出來(lái)的.我感到好題也需要不斷揣摩,站在不同的觀點(diǎn),就會(huì)有不同的感受.解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)觀其形、究其本,無(wú)論從哪個(gè)角度觀察,其根本是數(shù)學(xué)思想方法及其靈活運(yùn)用．