定點(diǎn)定值問題的曲線系探究與本源揭示

侯書紅

(中央民族大學(xué)附屬中學(xué)昆明五華實(shí)驗(yàn)學(xué)校，650032)

探究解析幾何的定值問題時(shí),常規(guī)思路往往是聯(lián)立方程組、運(yùn)用韋達(dá)定理解決問題,計(jì)算起來有時(shí)相當(dāng)復(fù)雜.而曲線系方程體現(xiàn)了整體處理、參數(shù)變換的數(shù)學(xué)思想,為簡化運(yùn)算提供了有效工具.本文以兩道試題為例,展示從曲線系方程入手能快速解題,并通過一般性探究其本源,期望對(duì)讀者能有所啟迪.

一、問題提出

與文[1]類似,我們不難得到如下結(jié)論

結(jié)論已知圓錐曲線方程為f(x,y)=0,曲線上四點(diǎn)對(duì)應(yīng)的四邊形的四條邊方程為l1(x,y)=0,l2(x,y)=0,l3(x,y)=0,l4(x,y)=0,則經(jīng)過這四點(diǎn)的二次曲線系方程可表示為l1(x,y)l2(x,y)+λf(x,y)=μl3(x,y)l4(x,y).

二、問題解析

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點(diǎn).

對(duì)例1進(jìn)行本源探究,可得如下變式：

證明如圖2,易知直線AN,BM,AB的方程分別為y=k1(x-2),y=k2x+1,x+2y=2.又MN∥AB,可設(shè)直線MN的方程為x+2y+m=0,過A,B,M,N四點(diǎn)的曲線系方程為(k1x-y-2k1)(k2x-y+1)+λ(x2+4y2-4)=μ(x+2y-2)(x+2y+m),整理得(k1k2+λ)x2+(1+4λ)y2-(k1+k2)xy+(k1-2k1k2)x+(2k1-1)y-(2k1+4λ)=μx2+4μy2+4μxy+(μm-2u)x+(2mμ-4μ)y-2mμ.

對(duì)例2進(jìn)行本源探究,可得如下變式：

從以上兩例可以看出,通過曲線系方程能比較簡捷地探究出問題的本源,有利于解析幾何問題的解決.