賞析與數(shù)列前n項和有關(guān)的不等式證明

陶 蕊

(浙江省元濟高級中學(xué)，314300)

數(shù)列不等式是由數(shù)列知識與不等式內(nèi)容整合、交匯而成的,是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點之一．本文以高考題為例,從五種角度出發(fā)探討與數(shù)列前n項和有關(guān)的不等式證明題的解決方案．

策略1直接求和+有界性

(1)略；

策略2單調(diào)性+最值

數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的特殊函數(shù),在解題時要具有函數(shù)的思想和意識．

(1)求an與bn;

(i)求Sn;

(ii)求正整數(shù)k,使得對任意的n∈N*均有Sk≥Sn.

解(1)an=2n,bn=n(n+1).(過程略)

策略3放縮求和

放縮法是處理數(shù)列不等式的重要方法,其本質(zhì)是利用不等式的傳遞性,難點是變形靈活、技巧性強．如何把握放縮的“度”是放縮的精髓所在.放縮求和目標模型常見的有等差模型、等比模型、裂項相消模型、錯位相減模型、倒序相加模型這五種，其中等比模型和裂項相消模型出現(xiàn)的頻率較高．

例3(2019年浙江高考題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a3=4,a4=S3.數(shù)列{bn}滿足:對每個n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;

解(1)an=2n-2,bn=n2+n.(過程略)

例4(2014年全國高考題)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1.

策略4數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的適用范圍是遇到與正整數(shù)有關(guān)的命題,若用其他方法不容易證明,則可以考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法,關(guān)鍵是運用歸納假設(shè),由n=k命題成立證明n=k+1時命題也成立．

例5題同例3.

解(1)an=2n-2,bn=n2+n.(過程略)

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立.

當(dāng)n=1時，c1=0<2,不等式成立.

策略5綜合分析法

運用綜合分析的解題方法，一方面是執(zhí)果索因、逆向思考問題， 在分析過程中去尋覓結(jié)論成立的一些條件(隱含條件、過渡條件等),由欲知確定需知；另一方面是由需知利用已知，充分利用已知條件進行銜接，往往會收到柳暗花明又一村的效果．

當(dāng)n=1時,命題成立.

綜上，命題得證.

綜上,命題得證．

與數(shù)列前n項和有關(guān)的不等式證明題是高考命題的熱點.雖然在思維和方法上要求高、難度大,但是只要觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特征,選擇合適的解題策略，此類問題即可突破．