高三數(shù)學(xué)綜合測(cè)試

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，計(jì)40分)

1.已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},則( )

(A)A∩B={x|x<0}

(B)A∪B=R

(C)A∪B={x|x>1}

(D)A∩B=?

(A)-1+i (B)-1-i

(C)1+i (D)1-i

(A)f(x)的一個(gè)周期為-2π

4.已知向量a,b滿足|a|=5,|b|=6,并且a·b=-6,則cos〈a,a+b〉=( )

(A)(2,3) (B)(2,3]

(C)[2,3) (D)[2,3]

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分，計(jì)20分)

(A)g(x)為奇函數(shù)

(B)g(x)的最小正周期為π

(A)|b|=1

(C)a·b的最大值為2

(D)|a-b|的最大值為3

11.已知函數(shù)f(x)=sinx-|sinx|,下列結(jié)論正確的有( )

(A)f(x)是奇函數(shù)

(B)f(x)是周期函數(shù),且周期為2π

(C)f(x)的最小值為-2

(A)f(1)是f(x)的極小值

(B)函數(shù)y=f(x)-x有且只有1個(gè)零點(diǎn)

(C)f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減

三、填空題(本大題共4小題,每小題5分，計(jì)20分)

四、解答題(本大題共6小題,計(jì)70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

問題:在?ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,______,判斷三角形解的情況,并在三角形有兩解的情況下解三角形.

注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

(1)求ω;

19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=axlnx,g(x)=x2-b,若曲線y=f(x)與y=g(x)相交于P(1,0),且在點(diǎn)P處有相同的切線.

(1)求a,b的值;

(2)比較f(x)與g(x)的大小關(guān)系.

20.(本小題滿分12分)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:

(i)利用該正態(tài)分布,求P(187.8

(ii)某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)利用(i)的結(jié)果,求EX.

21.(本小題滿分12分)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點(diǎn),P為AM上一點(diǎn),過B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.

(1)證明:MN∥AA1且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;

(2)設(shè)O為?A1B1C1的中心,若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.

22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對(duì)于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范圍.

參考答案

一、單選題

1.A;2.C;3.D;4.D;

5.A;6.A;7.D;8.C.

二、多選題

9.BD;10.AC;11.BCD;12.ABD.

三、填空題

四、解答題

19.(1)由f(1)=g(1),可得12-b=0,b=1.又f′(x)=a(lnx+1),g′(x)=2x,且f′(1)=g′(1),故a=2.

s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.

(2)(i)由(1)知,Z服從正態(tài)分布N(200,150),從而P(187.8

(ii)由(i)可知,一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.682 6,依題意知X～B(100,0.682 6),所以EX=100×0.682 6=68.26.

21.(1)因?yàn)镸,N分別為矩形BC,B1C1的中點(diǎn),所以MN∥BB1.又因AA1∥BB1,故MN∥AA1.

在正三角形ABC中,因?yàn)镸為BC的中點(diǎn),所以BC⊥AM.

又側(cè)面BB1C1C為矩形,故BC⊥BB1.而MN∥BB1,所以MN⊥BC.

由MN∩AM=M,MN,AM?平面A1AMN,得BC⊥平面A1AMN.

又B1C1∥BC,故B1C1⊥平面A1AMN.

因?yàn)锽1C1?平面EB1C1F,所以平面EB1C1F⊥平面A1AMN.

(2)連結(jié)NP,因?yàn)锳O∥平面EB1C1F,平面AONP∩平面EB1C1F=NP,所以AO∥NP.

根據(jù)三棱柱上下底面平行,其面A1NMA∩平面ABC=AM,面A1NMA∩平面A1B1C1=A1N,故ON∥AP.所以四邊形ONPA是平行四邊形.

設(shè)?ABC邊長(zhǎng)是6m(m>0),則ON=AP,NP=AO=AB=6m.

在B1C1上截取B1Q=EP=m,故QN=2m.因?yàn)锽1Q=EP,且B1Q∥EP,所以四邊形B1QPE是平行四邊形,有B1E∥PQ.

由(1)知B1C1⊥平面A1AMN, 故∠QPN為B1E與平面A1AMN所成角.

22.(1)f′(x)=m(emx-1)+2x.

若m≥0,則當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),emx-1≤0,f′(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),emx-1≥0,f′(x)>0.

若m<0,則當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),emx-1>0,f′(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),emx-1<0,f′(x)>0.

綜上,f(x)在(-∞,0)單調(diào)減,在(0,+∞)單調(diào)增.

(2)由(1)知,對(duì)任意的m,f(x)在[-1,0]單調(diào)減,在[0,1]單調(diào)增,故f(x)在x=0處取得最小值.

所以,對(duì)于任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要條件是

①

設(shè)g(t)=et-t-e+1,則g′(t)=et-1,易見g(t)在(-∞,0)單調(diào)減,在(0,+∞)單調(diào)增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故當(dāng)t∈[-1,1]時(shí),g(t)≤0即當(dāng)m∈[-1,1]時(shí),g(m)≤0,g(-m)≤0,即① 式成立.

當(dāng)m>1時(shí),由g(t)的單調(diào)性,得g(m)>0,即em-m>e-1,不合題意;當(dāng)m<-1時(shí),g(-m)>0,即e-m+m>e-1,不合題意.

綜上,m的取值范圍是[-1,1].