求不等式恒成立問題中參數(shù)的取值范圍的三個“妙招”

劉國良

求不等式恒成立問題中參數(shù)的取值范圍問題一般較為復(fù)雜，這類問題往往與函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解析幾何等知識相結(jié)合.通常情況下，含參不等式較為復(fù)雜，如含有多個基本函數(shù)、絕對值、根式、分式等，因此求不等式恒成立問題中參數(shù)的取值范圍，需合理變形不等式，運用轉(zhuǎn)化思想，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題、方程問題、更為簡單的不等式問題來求解.那么如何將問題合理轉(zhuǎn)化，求得參數(shù)的取值范圍呢？有如下三個“妙招”.

一、通過作差構(gòu)造新函數(shù)

對于形如f（x）≤g（x）、f（x）≥g（x）的不等式恒成立問題，通常需將不等式左右的式子作差，并移項；然后構(gòu)造函數(shù)G（x）=f（x）-g（x），將問題轉(zhuǎn)化為使G（x）≥0或G（x）≤0恒成立；再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義、導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，并求得函數(shù)的最值，只需使G（x）max≤0或G（x）min≥0，即可確保不等式恒成立；最后解不等式，求出參數(shù)的取值范圍.

例1.若不等式（x+1）1n（x+1）

解：根據(jù)題設(shè)可設(shè)f（x）=（x+1）1n（x+1）-ax2-2ax，

于是問題轉(zhuǎn)化為使f（x）<0在（0，+∞）上恒成立，

則f′（x）=1n（x+1）-2ax-2a+1，x>0，

（?。┊攁≤0時，f′（x）=1n（x+1）+1-2a（x+1）>0，

則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，

所以f（x）>f（0）=0在（0，+∞）上恒成立，與已知條件不相符，

所以a≤0不合題意，舍去.

故φ（x）<φ（0）=1-2a≤0，即f′（x）<0在x∈（0，+∞）上成立，則f（x）在x∈（0，+∞）上是減函數(shù)，

故f（x）