一道競(jìng)賽題的多角度思考

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(盱眙中學(xué) 江蘇盱眙 211700)

同一個(gè)數(shù)學(xué)問題，不同的認(rèn)識(shí)角度將會(huì)帶來不同的解題思路，這就需要我們?cè)谌粘５慕忸}過程中，善于變換角度，從不同的層面分析問題，把握問題的實(shí)質(zhì).筆者通過以下一道試題的多角度思考，從中展示數(shù)學(xué)思想方法的精妙，從平凡中顯現(xiàn)不平凡的數(shù)學(xué)魅力，讓大家體會(huì)數(shù)學(xué)美之所在．

題目求滿足下式的銳角x:

思路1轉(zhuǎn)化思想——構(gòu)造余弦定理.

解法1原式可化為

圖1

∠BCD=90°-x．

如圖1，得

|AE|+|BE|=4≥|AB|.

即

1=sin(x+30°),

解得

x=60°.

思路2轉(zhuǎn)化思想——聯(lián)系柯西不等式.

解法2由題意可得

16,

評(píng)注柯西不等式在不等式中的運(yùn)用非常廣泛，應(yīng)用它往往可以簡(jiǎn)化運(yùn)算量．

思路3方程思想——構(gòu)造方程.

解法3可以利用條件進(jìn)行分子有理化，建立另一方程的形式，通過方程組消元求解．

因此

從而

于是

解得

x=60°.

評(píng)注該解法由學(xué)生熟悉的分子有理化入手，再過渡到方程思想，思路如行云流水般自然.

思路4化繁為簡(jiǎn)——樸素的化簡(jiǎn)運(yùn)算．

解法4原式可化為

兩邊平方得

即

兩邊平方得

即

sin(x+30°)=1，

解得

x=60°．

思路5消元思想.

由cos2x+sin2x=1得

a4-12a3+54a2-108a+81=0,

即

(a-3)4=0，

解得

a=3，

從而

解得

x=60°.

思路6數(shù)形結(jié)合思想——幾何法.

從幾何的角度考代數(shù)問題，可以使問題存現(xiàn)的方式更生動(dòng)．對(duì)于本題，可以從不同的角度來考慮：一是利用兩點(diǎn)間公式轉(zhuǎn)化成直線，再利用點(diǎn)在直線上求解．二是用兩點(diǎn)間距離轉(zhuǎn)化后，結(jié)合余弦定理，建立等式，實(shí)現(xiàn)問題的求解．

解法6原式可化為

|PA|+|PB|=4.

由|AB|=4，得點(diǎn)P在AB上，從而AB的方程為

則

解得

x=60°．

解法7原式可化為

圖2

(1)

由余弦定理知

因此

即

令|AP|=t，則

即

解得

從而

解得

x=60°．

評(píng)注數(shù)形結(jié)合思想能將代數(shù)問題生動(dòng)、形象地呈現(xiàn)出來，因此平時(shí)要有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題．