慎對課堂的意外 拾揀智慧的珠璣
——記一道課本例題的意外收獲

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(嘉興市第一中學(xué) 浙江嘉興 314050)

0 前言

在平常的教學(xué)過程中，總會遇到這種情況：當(dāng)教學(xué)活動正按事先預(yù)設(shè)的方向前進(jìn)時，突然有學(xué)生提出與教學(xué)設(shè)計完全不同，但又非?！伴W光”的想法，若對這“意外”發(fā)言給予重視、肯定，合理施教,可能會打亂整個教學(xué)設(shè)計，但也可能會得到意外的收獲．筆者在講解課本例題時就曾遇到過這種情況,現(xiàn)整理成文以供大家參考．

1 課堂回顧

圖1

筆者在講解此題時是用數(shù)形結(jié)合的方法求解的.作出直線l及橢圓，觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)利用平行于直線l且與橢圓只有一個交點的直線，可以求得相應(yīng)的最小距離．讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合在解圓錐曲線中的重要應(yīng)用，也讓學(xué)生深刻體會了如何去求與已知直線平行且與橢圓只有一個交點(切線)的直線方程．剛講解完此題，有位學(xué)生突然舉手且發(fā)言：“老師，此題不需要畫出圖像，根據(jù)所給方程，可以很快求出答案”.筆者心里一驚，請他發(fā)言．

生：解決本題的關(guān)鍵是求出橢圓的切線．令切線方程為4x-5y+c=0，則

于是

確實和答案完全一樣．其他同學(xué)也很驚訝．

生：其實c就等于直線常數(shù)項的平方,等于直線方程中x系數(shù)的平方乘以橢圓長半軸的平方再加上直線方程中y系數(shù)的平方乘以橢圓短半軸的平方．

其他同學(xué)聽得一頭霧水．

師：你是怎么知道的？

生：就是您剛才講解例題時,我發(fā)現(xiàn)的．

師：這個方法是只對于這個題目成立，還是對于一般的直線方程和橢圓也成立呢？我們一起來探究．

2 探究

(并請該生上黑板板演.)

證明聯(lián)立方程

消去y得

(b2n2+m2a2)x2+2acm2x+m2c2-b2m2n2=0,

于是

Δ=(2acm2)2-4(b2n2+m2a2)(m2c2-

b2m2n2)=

4m2b2n2(m2a2+n2b2-c2).

令Δ=0，得

c2=m2a2+n2b2，

從而

不但答案是肯定的，而且又有學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)c2m2a2+n2b2時，直線l與橢圓相離．這個發(fā)現(xiàn)不但讓學(xué)生驚喜萬分，也讓筆者慶幸還好沒有搪塞過去．

師：也許是巧合，讓我們得到了一個判斷直線與橢圓位置關(guān)系的簡便方法．

(1)若c2=m2a2+n2b2，則直線l與橢圓有且只有1個交點(相切)；

(2)若c2

(3)若c2>m2a2+n2b2，則直線l與橢圓沒有交點(相離).

3 應(yīng)用

直線與二次曲線位置關(guān)系的判別，常用的方法是判別式，而利用“Δ”法計算量往往很大．上述幾個性質(zhì)是從“Δ”法中提煉出一般的結(jié)論：利用直線的參數(shù)與二次曲線參數(shù)之間的關(guān)系，可以快速地判斷直線與二次曲線的位置關(guān)系．直觀性強、簡單易記，應(yīng)用起來十分方便，請看以下的例子．

解因為

62·9-52·16=-166<32，

所以由性質(zhì)2可知直線l與雙曲線相交．

例3直線y=mx+1與橢圓x2+4y2=1有且只有1個交點，則m2=________．

解由性質(zhì)1可得

解得

分析結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)，求出與直線l平行且與橢圓相切的直線，由此可以求得相應(yīng)的最小距離．

c2=22·2+(-1)2·1=9，

得

c=-3(c=3舍去),

于是最小距離為

例5試就實數(shù)k的取值情況，討論方程x2+4(kx+k+2)2-12=0的實根個數(shù)．

分析此題若用判別式來求解，運算較為復(fù)雜，但用上述性質(zhì)來處理卻十分容易．

解令y=kx+k+2，則方程變?yōu)?/p>

x2+4y2-12=0，

(k+2)2=12k2+3，

即

11k2-4k-1=0，

解得

例6設(shè)m∈R，在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量a=(mx,y+1)，向量b=(x,y-1)，a⊥b,動點M(x,y)的軌跡為E．

(1)求軌跡E的方程，并說明該方程所表示曲線的形狀.

(2009年山東省數(shù)學(xué)高考文科試題)

解(1)略．

x2+4(kx+t)2=4,

即

(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0.

要使切線與軌跡E恒有2個交點A,B,由推論1可得

t2<4k2+1,

且

于是

y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=

k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=

于是

5t2-4k2-4=0,

即

5t2=4k2+4且t2<4k2+1,

從而4k2+4<20k2+5恒成立．又因為直線y=kx+t為圓心在原點的圓的一條切線,由推論2可得

t2=(k2+1)r2,

于是

又l與軌跡E只有一個公共點B1,由推論1可得

由式(1)，式(2)得

此時,點A,B重合為點B1(x1,y1).由

得

x1=x2,

從而

因為點B1(x1,y1)在橢圓上,所以

得

在Rt△OA1B1中,

|A1B1|2≤5-4=1,

4 推廣

課后,筆者還給學(xué)生布置了思考題：能否把我們的結(jié)論推廣到其他的圓錐曲線呢？從學(xué)生反饋的作業(yè)中歸納了以下6個推廣．

(1)若m2=a2k2+b2，則直線l與橢圓有且只有1個交點(相切)；

(2)若m2

(3)若m2>a2k2+b2，則直線l與橢圓沒有交點(相離).

推廣2已知圓方程x2+y2=r2，直線l:ax+by+c=0．

(1)若c2=(a2+b2)r2，則直線l與圓有且只有1個交點(相切)；

(2)若c2=(a2+b2)r2，則直線l與圓有2個交點(相交)；

(3)若c2=(a2+b2)r2，則直線l與圓沒有交點(相離).

(1)若c2=m2a2-n2b2，則直線與雙曲線有且只有1個交點(相切)；

(2)若c2>m2a2-n2b2，則直線與雙曲線有2個交點(相交)；

(3)若c2

(1)若c2=n2b2-m2a2，則直線l與雙曲線有且只有1個交點(相切)；

(2)若c2>n2b2-m2a2，則直線l與雙曲線有2個交點(相交)；

(3)若c2

推廣5已知拋物線y2=2px，直線l:ax+by+c=0．

推廣6已知拋物線x2=2py，直線l:ax+by+c=0．

5 反思

本文記錄的是筆者教學(xué)活動中的一次“意外”．在平常的教學(xué)過程中，常常會遇到突如其來的“意外”．若能結(jié)合教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行研究，既能自然地得到學(xué)生容易接受的結(jié)果，又能使學(xué)生通過自己的探索，溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系．這節(jié)課的“意外”通過教師的點評、歸納，學(xué)生不但全面掌握了直線與圓錐曲線有且只有1個公共點的求法，而且掌握了根據(jù)方程快速判定直線與圓錐曲線位置關(guān)系的方法，提升了解題能力．

由此看來，在平時教學(xué)中，教師若能放手讓學(xué)生去思考、探索，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，注意學(xué)生的“閃光點”，并通過問題探究引導(dǎo)學(xué)生在收集、整理、歸納中獲得新知識，在知識的聯(lián)系中進(jìn)行有效整合，這不僅對學(xué)生能力的培養(yǎng)和提高很有益處，而且也使課堂充滿生機，收獲不斷．