返璞歸真 回歸本源
——從一道高考試題談起

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(諸暨中學(xué) 浙江諸暨 311800)

2010年浙江省數(shù)學(xué)高考試題以其獨具匠心的構(gòu)思、立意新穎的設(shè)問給人以耳目一新的感覺.但是從學(xué)生反饋的信息來看，答題情況卻不盡人意，從中反映出的問題值得深思.本文以2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第21題為例，結(jié)合筆者對部分考生和教師的訪談，探討數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的一些問題，并提出幾點教學(xué)建議,供大家參考.

1 試題及解題錯誤

下面先給出2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第21題，根據(jù)本文的需要，這里只研究第(2)小題：

(1)略;

(2)設(shè)直線l與橢圓C交于點A,B，△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G,H,若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍.

這是一道常規(guī)的解析幾何題目，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系、點與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識以及解決解析幾何問題的基本思想和方法.按照常理，解決這一問題并不十分困難，但根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，本題的得分率并不理想，主要有以下幾種錯誤類型.

類型3缺乏必要的轉(zhuǎn)化與化歸的能力，導(dǎo)致復(fù)雜的計算，最終沒能解出答案或者因為計算錯誤導(dǎo)致了錯誤的答案.在得出了重心坐標(biāo)之后，接下來的工作就是利用已知條件“原點在以GH為直徑的圓內(nèi)”得出一個關(guān)于m的不等式，并由此求出范圍.對于這一條件，不同的學(xué)生可能有不同的處理方法，這里引用幾種最典型的做法：

(1)求出圓的方程，先將點O的坐標(biāo)代入方程的左端，再將“等號改成小于號”即可.

(2)設(shè)GH的中點為M，則2|OM|<|GH|,從而

然后化簡可得

x1x2+y1y2<0.

x1x2+y1y2<0.

不難看出，這幾種處理方法從運算量來講有很大的差異，第3種做法將已知條件進(jìn)行了合理地等價轉(zhuǎn)化，大大減少了運算量.

類型4忽視題目的隱含條件，導(dǎo)致解題失誤.事實上，本題中m的范圍由2個條件決定:一個是原點在以GH為直徑的圓內(nèi)，另一個是隱含條件“直線與橢圓有2個不同的交點”.對于后者，很多學(xué)生并沒有注意到.

2 產(chǎn)生問題的原因

根據(jù)前文所述的解題錯誤可以看出，考生在解決本題時出錯的主要原因是：

(1)過度依賴解題模式，導(dǎo)致思維僵化，忽視題目中蘊含的數(shù)學(xué)關(guān)系.

(2)重結(jié)果、輕過程，缺乏積極思維的習(xí)慣和主動性，例如重心坐標(biāo)，很多考生實際上具備推導(dǎo)這一結(jié)果的能力，只是沒有主動去思考如何推導(dǎo).

(3)思維的靈活性不夠，缺乏必要的等價轉(zhuǎn)化與化歸的能力，對于題目的條件只能直接應(yīng)用，不能舉一反三.

那么，從教學(xué)的角度看，產(chǎn)生問題的主要原因是什么呢？當(dāng)然,原因是多方面的，但是筆者以為，以下幾點是最主要的.

2.1 將數(shù)學(xué)教學(xué)異化為題型總結(jié),抑制了學(xué)生思維能力的發(fā)展

新課程意義下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要保證學(xué)生有足夠的時間和機會建構(gòu)性地接觸、認(rèn)識數(shù)學(xué)，從而理解數(shù)學(xué)、運用數(shù)學(xué).既要重視數(shù)學(xué)概念的發(fā)生過程，也要重視數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用.但是，從教學(xué)的實際來看，重結(jié)果、輕過程，忽視數(shù)學(xué)的本質(zhì)，將數(shù)學(xué)教學(xué)的主要精力放在題型總結(jié)上，數(shù)學(xué)課堂被異化為題型教學(xué).誠然，模式識別策略是解題活動最重要的策略之一，積累一定的解題經(jīng)驗，總結(jié)必要的解題模式是提高解題能力的必要條件.但是在教學(xué)實踐中，有些教師過分強調(diào)模式化，將數(shù)學(xué)問題歸納成很多的“類型”，然后對每一種“類型”都總結(jié)出一定的解題規(guī)則，而對于隱含于模式背后的數(shù)學(xué)思想?yún)s重視不夠，似乎學(xué)生只要掌握了這些規(guī)則，便能在解決問題時“有法可依”，這種做法在一定程度上助長了學(xué)生對解題模式的依賴.

2.2 教學(xué)過程中，“快節(jié)奏、大題量”剝奪了學(xué)生思考的機會

不可否認(rèn)，在新課程改革逐步深入的背景下，課堂教學(xué)的研究得到了廣泛地重視，也涌現(xiàn)出了一大批優(yōu)秀的課例.但是不容忽視的是，在實際的教學(xué)工作中，特別是高考復(fù)習(xí)課教學(xué)中，“大容量、快節(jié)奏，在最少的時間里講授最多的題目”占據(jù)了一定的市場，甚至是一種“流行色”.這種課堂的實際情況是，學(xué)生來不及思考，就被告知解題的思路和方法，學(xué)生的任務(wù)只是接受、記憶、積累題型和方法，至于為什么要這樣解題？為什么會這樣思考？這些問題都來不及探究.這樣下去的結(jié)果可想而知，學(xué)生在課堂上失去了思考的機會，思維能力得到培養(yǎng)的權(quán)利也一并失去了.就解析幾何的教學(xué)而言，廣大考生的訓(xùn)練不可謂不多，但是效果卻難如人意.

2.3 大量的重復(fù)訓(xùn)練降低了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的積極性

正如張奠宙教授指出的那樣，“深受科舉文化影響的中國數(shù)學(xué)教育，有著獨特的考試文化”，維系著考試文化的一個常見學(xué)習(xí)活動就是操練.似乎創(chuàng)造也從熟習(xí)而來，古訓(xùn)說了，“熟能生巧”嘛！文獻(xiàn)[1]至文獻(xiàn)[3]徹底顛覆了這一千年古訓(xùn).過度的重復(fù)訓(xùn)練不但不能生巧，還會助長學(xué)生厭學(xué)的情緒.同時，大量機械化的解題活動，使得學(xué)生的思維趨于僵化.當(dāng)然，我們并不反對必要的練習(xí)，但是除了練習(xí)還要關(guān)注哪些問題，就是我們必須要考慮的問題了.

3 對教學(xué)工作的啟示

針對以上教學(xué)中出現(xiàn)的問題，筆者提出以下教學(xué)建議.

3.1 返璞歸真，重視概念的發(fā)生過程，還原數(shù)學(xué)課堂的本來面目

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，返璞歸真、還原數(shù)學(xué)課堂的本來面目是必由之路，讓數(shù)學(xué)課堂成為教師引導(dǎo)下的數(shù)學(xué)探究活動.在活動中，一方面學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，同時思維能力和思維品質(zhì)得到訓(xùn)練和提高，情感、價值觀得到必要的陶冶，這些目標(biāo)都要得到足夠的重視.“1個定義、2點注意、3個例題”曾經(jīng)是非常流行的教學(xué)模式，對概念的發(fā)生過程缺乏必要的展示，直接告知定義，然后舉例識別就可以了.相比概念，更重要的似乎是例題，這些作法必須在教學(xué)過程中進(jìn)行糾正.

3.2 重視學(xué)生的思維過程

培養(yǎng)學(xué)生思維能力的主陣地是數(shù)學(xué)課堂.教師在課堂上要給學(xué)生足夠的時間和機會思考數(shù)學(xué)問題，要重視學(xué)生的思維過程.通過對學(xué)生思維過程的剖析和評價，促使學(xué)生思維能力的發(fā)展和提高.同時，教師也要注重自己思維過程的展示，就象波利亞所說的那樣，“與其給人以死板的知識，不如給人以生動、活潑的方法，點石成金的策略、手段.”

3.3 淡化模式識別，重視思想方法

在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，所積累的經(jīng)驗經(jīng)過加工，會得出有長久保存價值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——模式，將其有意義地記憶下來，并作有目的的簡單編碼.當(dāng)遇到新的問題時，我們可以辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個已經(jīng)解決的問題，以此為索引，在記憶的貯存中提取出相應(yīng)的方法來加以解決，這就是模式識別的解題策略.不可否認(rèn)，模式識別是必要的，但是在教學(xué)中，一定要跳出模式的圈子，挖掘模式背后蘊含的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，而不是停留在一招一式的所謂技巧上.前文所述的解析幾何問題，有很多學(xué)生就是因為機械地應(yīng)用了模式，而且只停留在模式識別的層次，對題目蘊含的數(shù)學(xué)關(guān)系缺乏應(yīng)有的分析，不能用函數(shù)與方程的思想思考問題，從而解題失敗.

3.4 重視變式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的思維活性

近年世界各地對儒家文化圈學(xué)習(xí)理論的探索很是熱切，其中注重變式教學(xué)是一個非常明顯的優(yōu)點，其實數(shù)學(xué)向來強調(diào)觸類旁通、舉一反三，改變問題中一些條件變成一道新的題目是常見的培養(yǎng)解決問題能力的作法，即變式教學(xué).Leung[5]更指出這種“解決問題←→編擬一道新題”的循環(huán)可以培養(yǎng)學(xué)生自我學(xué)習(xí)的能力.另外，筆者也堅信，得當(dāng)?shù)淖兪浇虒W(xué)對培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性有著不可替代的作用.前文所述的解析幾何題，如果在平時的教學(xué)過程中，注重了變式訓(xùn)練，注重了題目條件中各種等價形式的轉(zhuǎn)化，學(xué)生就可以少走很多彎路.

3.5 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣

正如《學(xué)會生存》一書中指出的那樣，教育具有培養(yǎng)創(chuàng)造精神和壓抑創(chuàng)造精神的雙重力量，也就是好的教育能夠充分施展培育創(chuàng)新的力量，提升受教育者的創(chuàng)新素養(yǎng)，而不當(dāng)?shù)慕逃赡軜?gòu)成對創(chuàng)新的打擊與窒息.從這個意義上講，如何在數(shù)學(xué)教育中，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神，培養(yǎng)他們勤于思考、善于思考的思維品質(zhì)是每個數(shù)學(xué)教師必須要考慮的問題，這大概也是培養(yǎng)能力和提高考試成績的一個結(jié)合點吧.

[1] 李士锜.熟能生巧嗎?[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1996,5(3):46-50.

[2] 李士锜.熟能生笨嗎?——再談“熟能生巧”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，1999,8(3):15-18.

[3] 李士锜.熟能生厭嗎?——三談“熟能生巧”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2000,9(1):23-27.