楊秀園
運算是數(shù)學的靈魂,因式分解作為等式的恒等變形運算,也是每年中考數(shù)學的必考內(nèi)容。根據(jù)教材知識點,同學們除了應(yīng)該掌握提公因式法、分組分解法、公式法、十字相乘法等基本方法外,還應(yīng)該結(jié)合不同的多項式,靈活選擇特殊的分解方法,如換元法、拆項添項法、主元法等,以提高因式分解解題能力。當然,該節(jié)內(nèi)容也是初中數(shù)學的教學難點,很多學生在對因式分解的方法和技巧學習時出現(xiàn)共性錯誤,通過梳理這些錯因,有針對性地施以指導,讓因式分解迎刃而解。
一、在因式分解中概念模糊的共性錯誤與成因剖析
將一個多項式轉(zhuǎn)換為幾個整式的積的形式,就是對多項式進行因式分解。在實際解題中,很多學生會對因式分解的概念產(chǎn)生錯誤理解,以致于在對多項式進行因式分解時,分解不徹底,未能化成“積”的形式。如某題中:,在進行因式分解時,有學生這樣做:原式=。很顯然,從概念來看,最終化解的式子并非“積”的形式,而是“減”式。之所以出現(xiàn)這種錯誤,與學生對“積”的形式理解不到位有關(guān)。觀察該多項式可以發(fā)現(xiàn)后半部分符合,因此,可以將后半部分進行組合,將原式化成。所以說,概念混淆,導致最終因式分解未能轉(zhuǎn)換成“積”的形式。不過,還有學生雖然認識到“積”的形式,但卻忽視“整式”的積的形式。如在某題中:,對該多項式進行分解時,有學生這樣做,原式=??此剖恰胺e”的形式,但對于因式部分卻不是整式,正確的解法應(yīng)該運用十字相乘法,將原式=。在因式分解中,數(shù)式分解是有范圍的。如某題中:,有學生在對原式進行分解時,將原式=,從有理數(shù)范圍來看,這種解法是正確的,但對于實數(shù)范圍而言,顯然是錯誤的。應(yīng)該將原式=。另外,有些學生在對多項式進行分解時,忽視了“恒等變形”。如某題中:,有學生這樣解,將原式=,通過對原式中的每一項都乘以“2”,使其符合平方差公式法,但對于原式,卻破壞了因式分解的“恒等性”,因此,需要將提出來,得到原式=。
二、在因式分解中分解方法不熟練的共性錯誤與成因剖析
在基本的因式分解方法學習中,一些學生對解法不熟練,使得解題錯誤千差萬別。現(xiàn)著重就其共性錯誤進行梳理,提醒學生能夠從這些錯誤中不斷糾正,提高解題正確率。提公因式法是最基本的因式分解方法,在進行公因式提取時,要對多項式的每一項進行細致對照,不能漏項。如某題中,該多項式的每個部分都有,可以作為公因式提取出來,另外,對于各項的系數(shù),“20”、“15”、“5”,都有公因式“5”,但有學生在運用提公因式法時,將原式=。觀察該“積”的形式,顯然是存在漏項。剖析其原因,一方面可能是學生馬虎,粗心造成的,另一方面可能是對“分配律”理解不深刻,正確的解法應(yīng)該是原式=。無獨有偶,當公因式在提取時,如果前面有“負”號,則括號內(nèi)的各項要變號。但有學生忽略變號問題。如某題中:,梳理各項,都有公因式“”,由于第一項為“負號”,所以在提取時要將“”作為公因式,后面的各項符號要變化。正確的解法應(yīng)該是原式=。在運用十字相乘法時,有學生未能將“ab=q”且“a+b=p”作為必要條件,導致因式分解錯誤。如某題中:,很多學生通過十字相乘法,得出“”,于是便將原式=,但仔細觀察學生的解題過程發(fā)現(xiàn),雖然滿足“ab=q”,但對于“”,所以原式分解方法是不正確的。在運用分組分解法時,需要把握各組之間仍有公因式可提,或者各組還可以運用其他分解法來繼續(xù)分解。但一些學生,僅僅關(guān)注各分組的分解,卻忽視兩組間的分解。如某題中:,將原式=,導致該式分解中未能實現(xiàn)“積”的形式。剖析其原因,主要是學生在提取公因式時,忽視了兩組間的繼續(xù)分解,應(yīng)該對分組進行優(yōu)化,確保兩組間能夠繼續(xù)分解。正確的解法應(yīng)該是原式=。
三、在因式分解中對特殊解法的靈活運用
在中考數(shù)學試題命題中,除了對基本概念、算理、方法的考查外,還會適當延伸和增加試題難度。以因式分解類題型為例,除了常規(guī)分解因式方法外,學生還要能夠根據(jù)不同的多項式特點,選擇合理的分解技巧和方法,來化繁為簡,化難為易。如某題中:,觀察該多項式,似乎沒有公因式可提取,采用分組法也難以分解,因為沒有一次項。這時,我們可以利用拆分法,將“5”進行拆分為“1”和“4”,來創(chuàng)造因式分解的條件。由此,原式=,前者可以利用立方和公式,轉(zhuǎn)換為,后者可以利用平方差公式,轉(zhuǎn)換為,最終得到。除了拆分,還可以采用添項法,來構(gòu)成便于因式分解的多項式。如某題中,觀察該多項式,無法直接進行因式分解。但可以通過添加,再減去兩個項,則將原式轉(zhuǎn)換為,前三項可以構(gòu)成平方和公式,與后面的構(gòu)成平方差公式,從而讓因式分解得以完成。需要強調(diào)的是,同學們在進行多項式拆項、添項時,一定要觀察多項式結(jié)構(gòu),要確保后續(xù)各項間能夠進行繼續(xù)分解。
總之,因式分解對學生數(shù)學知識、技能、思維、方法考查較高,學生在進行多項式分解時,要細心,要靈活選擇適當?shù)姆纸夥椒ǎ貏e是面對常規(guī)方法無法解決的多項式時,要嘗試從添加項、換元法、巧妙組合等途徑,來創(chuàng)造條件,突破難點,激活數(shù)學思維,提高解題能力。
(作者單位:遵義市湄潭縣大蘆學校)