查找錯(cuò)因 紓解“因式分解”之惑

楊秀園

運(yùn)算是數(shù)學(xué)的靈魂，因式分解作為等式的恒等變形運(yùn)算，也是每年中考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容。根據(jù)教材知識(shí)點(diǎn)，同學(xué)們除了應(yīng)該掌握提公因式法、分組分解法、公式法、十字相乘法等基本方法外，還應(yīng)該結(jié)合不同的多項(xiàng)式，靈活選擇特殊的分解方法，如換元法、拆項(xiàng)添項(xiàng)法、主元法等，以提高因式分解解題能力。當(dāng)然，該節(jié)內(nèi)容也是初中數(shù)學(xué)的教學(xué)難點(diǎn)，很多學(xué)生在對(duì)因式分解的方法和技巧學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)共性錯(cuò)誤，通過(guò)梳理這些錯(cuò)因，有針對(duì)性地施以指導(dǎo)，讓因式分解迎刃而解。

一、在因式分解中概念模糊的共性錯(cuò)誤與成因剖析

將一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換為幾個(gè)整式的積的形式，就是對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。在實(shí)際解題中，很多學(xué)生會(huì)對(duì)因式分解的概念產(chǎn)生錯(cuò)誤理解，以致于在對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，分解不徹底，未能化成“積”的形式。如某題中：，在進(jìn)行因式分解時(shí)，有學(xué)生這樣做：原式=。很顯然，從概念來(lái)看，最終化解的式子并非“積”的形式，而是“減”式。之所以出現(xiàn)這種錯(cuò)誤，與學(xué)生對(duì)“積”的形式理解不到位有關(guān)。觀察該多項(xiàng)式可以發(fā)現(xiàn)后半部分符合，因此，可以將后半部分進(jìn)行組合，將原式化成。所以說(shuō)，概念混淆，導(dǎo)致最終因式分解未能轉(zhuǎn)換成“積”的形式。不過(guò)，還有學(xué)生雖然認(rèn)識(shí)到“積”的形式，但卻忽視“整式”的積的形式。如在某題中：，對(duì)該多項(xiàng)式進(jìn)行分解時(shí)，有學(xué)生這樣做，原式=?？此剖恰胺e”的形式，但對(duì)于因式部分卻不是整式，正確的解法應(yīng)該運(yùn)用十字相乘法，將原式=。在因式分解中，數(shù)式分解是有范圍的。如某題中：，有學(xué)生在對(duì)原式進(jìn)行分解時(shí)，將原式=，從有理數(shù)范圍來(lái)看，這種解法是正確的，但對(duì)于實(shí)數(shù)范圍而言，顯然是錯(cuò)誤的。應(yīng)該將原式=。另外，有些學(xué)生在對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行分解時(shí)，忽視了“恒等變形”。如某題中：，有學(xué)生這樣解，將原式=，通過(guò)對(duì)原式中的每一項(xiàng)都乘以“2”，使其符合平方差公式法，但對(duì)于原式，卻破壞了因式分解的“恒等性”，因此，需要將提出來(lái)，得到原式=。

二、在因式分解中分解方法不熟練的共性錯(cuò)誤與成因剖析

在基本的因式分解方法學(xué)習(xí)中，一些學(xué)生對(duì)解法不熟練，使得解題錯(cuò)誤千差萬(wàn)別。現(xiàn)著重就其共性錯(cuò)誤進(jìn)行梳理，提醒學(xué)生能夠從這些錯(cuò)誤中不斷糾正，提高解題正確率。提公因式法是最基本的因式分解方法，在進(jìn)行公因式提取時(shí)，要對(duì)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)進(jìn)行細(xì)致對(duì)照，不能漏項(xiàng)。如某題中，該多項(xiàng)式的每個(gè)部分都有，可以作為公因式提取出來(lái)，另外，對(duì)于各項(xiàng)的系數(shù)，“20”、“15”、“5”，都有公因式“5”，但有學(xué)生在運(yùn)用提公因式法時(shí)，將原式=。觀察該“積”的形式，顯然是存在漏項(xiàng)。剖析其原因，一方面可能是學(xué)生馬虎，粗心造成的，另一方面可能是對(duì)“分配律”理解不深刻，正確的解法應(yīng)該是原式=。無(wú)獨(dú)有偶，當(dāng)公因式在提取時(shí)，如果前面有“負(fù)”號(hào)，則括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)要變號(hào)。但有學(xué)生忽略變號(hào)問(wèn)題。如某題中：，梳理各項(xiàng)，都有公因式“”，由于第一項(xiàng)為“負(fù)號(hào)”，所以在提取時(shí)要將“”作為公因式，后面的各項(xiàng)符號(hào)要變化。正確的解法應(yīng)該是原式=。在運(yùn)用十字相乘法時(shí)，有學(xué)生未能將“ab=q”且“a+b=p”作為必要條件，導(dǎo)致因式分解錯(cuò)誤。如某題中：，很多學(xué)生通過(guò)十字相乘法，得出“”，于是便將原式=，但仔細(xì)觀察學(xué)生的解題過(guò)程發(fā)現(xiàn)，雖然滿(mǎn)足“ab=q”，但對(duì)于“”，所以原式分解方法是不正確的。在運(yùn)用分組分解法時(shí)，需要把握各組之間仍有公因式可提，或者各組還可以運(yùn)用其他分解法來(lái)繼續(xù)分解。但一些學(xué)生，僅僅關(guān)注各分組的分解，卻忽視兩組間的分解。如某題中：，將原式=，導(dǎo)致該式分解中未能實(shí)現(xiàn)“積”的形式。剖析其原因，主要是學(xué)生在提取公因式時(shí)，忽視了兩組間的繼續(xù)分解，應(yīng)該對(duì)分組進(jìn)行優(yōu)化，確保兩組間能夠繼續(xù)分解。正確的解法應(yīng)該是原式=。

三、在因式分解中對(duì)特殊解法的靈活運(yùn)用

在中考數(shù)學(xué)試題命題中，除了對(duì)基本概念、算理、方法的考查外，還會(huì)適當(dāng)延伸和增加試題難度。以因式分解類(lèi)題型為例，除了常規(guī)分解因式方法外，學(xué)生還要能夠根據(jù)不同的多項(xiàng)式特點(diǎn)，選擇合理的分解技巧和方法，來(lái)化繁為簡(jiǎn)，化難為易。如某題中：，觀察該多項(xiàng)式，似乎沒(méi)有公因式可提取，采用分組法也難以分解，因?yàn)闆](méi)有一次項(xiàng)。這時(shí)，我們可以利用拆分法，將“5”進(jìn)行拆分為“1”和“4”，來(lái)創(chuàng)造因式分解的條件。由此，原式=，前者可以利用立方和公式，轉(zhuǎn)換為，后者可以利用平方差公式，轉(zhuǎn)換為，最終得到。除了拆分，還可以采用添項(xiàng)法，來(lái)構(gòu)成便于因式分解的多項(xiàng)式。如某題中，觀察該多項(xiàng)式，無(wú)法直接進(jìn)行因式分解。但可以通過(guò)添加，再減去兩個(gè)項(xiàng)，則將原式轉(zhuǎn)換為，前三項(xiàng)可以構(gòu)成平方和公式，與后面的構(gòu)成平方差公式，從而讓因式分解得以完成。需要強(qiáng)調(diào)的是，同學(xué)們?cè)谶M(jìn)行多項(xiàng)式拆項(xiàng)、添項(xiàng)時(shí)，一定要觀察多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)，要確保后續(xù)各項(xiàng)間能夠進(jìn)行繼續(xù)分解。

總之，因式分解對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思維、方法考查較高，學(xué)生在進(jìn)行多項(xiàng)式分解時(shí)，要細(xì)心，要靈活選擇適當(dāng)?shù)姆纸夥椒?，特別是面對(duì)常規(guī)方法無(wú)法解決的多項(xiàng)式時(shí)，要嘗試從添加項(xiàng)、換元法、巧妙組合等途徑，來(lái)創(chuàng)造條件，突破難點(diǎn)，激活數(shù)學(xué)思維，提高解題能力。

（作者單位：遵義市湄潭縣大蘆學(xué)校）