二次根式化簡(jiǎn)中的方程思想

陸愛容 張開金

二次根式運(yùn)算技巧性強(qiáng)，方法靈活多變，是初中代數(shù)部分的一個(gè)難點(diǎn).若能根據(jù)所給二次根式的特征，巧用換元法，則將起到化難為易，提高解題速度，收到事半功倍的奇效，而且有助于培養(yǎng)我們分析問題、解決問題的能力及探索求新的學(xué)習(xí)習(xí)慣.本文列舉用換元法來處理競(jìng)賽題中二次根式的化簡(jiǎn)、求值問題，供同學(xué)們參考.

例1 若（3+22）x+（3-22）x=6，則x=（）

（A） 2. （B）-2. （C）±2. （D）±12.

分析 由（3+22）（3-22）=1得（3+22）x與（3-22）x互為倒數(shù).

解 設(shè)（3+22）x=y，則

（3-22）x=1y，

所以y+1y=6，

即y2-6y+1=0，

解得y=3±22，

當(dāng)y=3+22時(shí)，得x=2，

當(dāng)y=3-22時(shí)，得x=-2.

故選（C）.

例2 化簡(jiǎn)3+52-3-52=（）

（A）25.（B） 2.（C） 1.（D） 5.

分析 用a表示所求的值，先求出a2的值.

解 設(shè)3+52-3-52=a，

易知a>0，

故a2=3+52+3-52-23+52×3-52，

即a2=3-2，

所以a=1，

故選（C）.

例3 使等式1+1+a=3a成立的實(shí)數(shù)a的值為.

分析 令x=1+a，再將a用x表示，先求出x的值.

解 由所給等式，可得

（1+1+a）3=a2，

設(shè)1+a=x，得x≥0，

且a=x2-1，

所以（1+x）3=（x2-1）2，

即（1+x）3=（x-1）2（x+1）2，

所以（x+1）2（x2-3x）=0，

解得x=-1（舍去），x=0或x=3，

所以a=-1或a=8，

驗(yàn)證可知：a=-1是原方程的增根，a=8是原方程的根，

所以實(shí)數(shù)a的值為8.

例4 化簡(jiǎn)：

2016201520142013×2011+1+1+1+1.

分析 由被開方數(shù)的特點(diǎn)，可設(shè)a=2013，

則a（a-2）+1=（a-1）2，

（a+1）（a-1）+1=a2，

（a+2）a+1=（a+1）2，

（a+3）（a+1）+1=（a+2）2.

解 設(shè)a=2013，則原式

=（a+3）（a+2）（a+1）a（a-2）+1+1+1+1

=（a+3）（a+2）（a+1）（a-1）+1+1+1

=（a+3）（a+2）a+1+1

=（a+3）（a+1）+1

=a2+4a+4

=a+2，

即原式=2015.

例5 化簡(jiǎn)：263+2-5.

分析 我們可以用a，b，c表示3，2，5，這樣就將二次根式化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為分式化簡(jiǎn).

解 令3=a，2=b，5=c，

則a2+b2-c2=0，

26=2ab，

故 263+2-5=2aba+b-c

=2ab（a+b+c）（a+b-c）（a+b+c）

=2ab（a+b+c）a2+b2+2ab-c2

=a+b+c，

即263+2-5=3+2+5.

例6 化簡(jiǎn)：

1997（1997-1999）（1997-2001）+

1999（1999-1997）（1999-2001）+

2001（2001-1997）（2001-1999）.

分析 如果直接化簡(jiǎn)，很繁瑣，通過巧設(shè)未知數(shù)就能將二次根式化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為異分母分式加減.

解 設(shè)1997=a，1999=b，2001=c，

則原式=a（a-b）（a-c）+b（b-a）（b-c）+

c（c-a）（c-b）

=a（b-c）-b（a-c）+c（a-b）（a-b）（a-c）（b-c）

=ab-ac-ba+bc+ca-cb（a-b）（a-c）（b-c）

=0.

例7 化簡(jiǎn)：111556.

分析 顯然111556=4×27889，

故只需求27889的值.

解 因?yàn)?602=25600，

1702=28900，

所以160<27889<170，

設(shè)27889=160+x，

所以（160+x）2=27899，

即x2+320x-2289=0，

又因?yàn)橹挥?2=9或72=9，

而2289=7×327，

且320=327-7，

2289=3×763，

所以x2+320x-2289=0必有一個(gè)根7.

所以（x+327）（x-7）=0，

x1=-327（不合題意，舍去），x2=7，

所以27889=167，

故得111556=334.