初中數(shù)學(xué)圓的解題技巧研究

孫明松

【摘要】本文通過(guò)例題講解的方式闡述初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“圓”的有關(guān)性質(zhì)的問(wèn)題、圓的作用的問(wèn)題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、有關(guān)圓內(nèi)弦的問(wèn)題，通過(guò)詳細(xì)的解題過(guò)程、解題點(diǎn)評(píng)來(lái)讓學(xué)生加深對(duì)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);平面圖形;圓

圓是一個(gè)比較特殊的平面圖形，由曲線組成，不僅是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，還具有旋轉(zhuǎn)不變性，基于圓的這些特性，再加上同其它知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，關(guān)于圓的題型比較多，綜合性也較強(qiáng)，不少學(xué)生在解題過(guò)程中極易遇到障礙或者困境，往往不知道從何處著手，教師應(yīng)根據(jù)具體題目為其傳授一些常用的解題技巧，提高他們解決圓類試題的能力.

1 有關(guān)圓性質(zhì)的問(wèn)題求解技巧

例題

已知一直徑是AB的圓O，圓內(nèi)有一條弦是CD，且AB通過(guò)弦CD的中點(diǎn)M點(diǎn)，將BD與OC連接起來(lái)，如果∠BOC是40°，請(qǐng)求出∠ABD的大小.

解題過(guò)程

結(jié)合題目中提供的信息能夠判斷出∠BDC與∠BOC二者分別是弧BC所對(duì)圓周角與圓心角，這樣就可以結(jié)合已知條件以及圓周角定理來(lái)求出∠BDC的大小是20°;又因?yàn)镃D與AB是垂直關(guān)系，所以能夠知道△BDM本身就是一個(gè)直角三角形，結(jié)合直角三角形內(nèi)除直角外其它兩個(gè)角是互余關(guān)系，能夠快速求解出∠ABD度數(shù)的大小是70°.

解題點(diǎn)評(píng) 處理該道與圓相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可先思考要用到的一些定理，如圓周角定理、垂徑定理等，再對(duì)相關(guān)圖形中線段間的位置關(guān)系進(jìn)行仔細(xì)分析，由此快速確定求解思路.

2 有關(guān)圓特征的問(wèn)題求解技巧

例題

現(xiàn)有某一個(gè)內(nèi)接有△ABC的圓O，點(diǎn)D位于CA延長(zhǎng)線的上面，如果∠BOC=120°，試求∠BAD的大小.

解題過(guò)程

根據(jù)題干中已知信息給定的∠BAC對(duì)應(yīng)長(zhǎng)弧BC及圓心角就可以確定∠BAC的度數(shù)，即為∠BAC=12×（360°-120°）=12×240°=120°，繼而能夠求出∠BAD的度數(shù)，即為∠BAD=180°-120°=60°.

解題點(diǎn)評(píng) 本題主要涉及的是圓弧、圓心角這幾個(gè)圓的特征，處理這道問(wèn)題時(shí)要注意深入挖掘這些關(guān)鍵信息，然后通過(guò)對(duì)彼此之間的相關(guān)性展開(kāi)分析，快速確定解決該問(wèn)題的思路.

3 有關(guān)圓作用的問(wèn)題求解技巧

例題 求證：以等腰三角形的一個(gè)腰為直徑的圓能夠?qū)⒌走吰椒?

解題過(guò)程

本題要用到輔助線的方式進(jìn)行求證，即：假設(shè)AB和AC是等腰三角形的兩個(gè)腰，且邊AB是圓O的直徑，底邊BC同圓O相交于點(diǎn)D，要想證明該等腰三角形的底邊BC被圓O平分，只需證明點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)即可，也就是證明AD是△ABC的高，這時(shí)可以把AD連接起來(lái)，由于AB是圓O的直徑，所以能夠知道AD⊥BC，然后結(jié)合等腰三角形的“三線合一定理”就能證明出該結(jié)論的準(zhǔn)確性.

解題點(diǎn)評(píng) 在求證本道題目中的結(jié)論時(shí)，不少學(xué)生看完題目?jī)?nèi)容后可能會(huì)感覺(jué)非常疑惑，不知道如何著手，由于解題條件和信息有限，無(wú)法快速找到突破口，運(yùn)用輔助線能夠求證.

4 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解技巧

例題 已知點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最大距離為6厘米，最小距離為2厘米，那么圓的半徑r是多長(zhǎng)？

解題過(guò)程

從本道題來(lái)看，分析題意可知點(diǎn)P不在圓上，那么應(yīng)對(duì)點(diǎn)P和⊙O的位置展開(kāi)分類討論，分為點(diǎn)P在⊙O內(nèi)與⊙O外這兩種情況進(jìn)行分類討論，畫(huà)出如下兩幅圖，（1）當(dāng)點(diǎn)P在⊙O內(nèi)時(shí)如圖1所示，PA=6cm，PB=2cm，則AB=PA+PB=6+2=8cm，即⊙O的半徑r=12×AB=12×8=4cm;（2）當(dāng)點(diǎn)P在⊙O外時(shí)如圖2所示，PA=2cm，PB=6cm，則AB=PB-PA=6-2=4cm，即⊙O的半徑r=12×AB=12×4=2cm.

解題點(diǎn)評(píng) 確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，從本質(zhì)上來(lái)講就是確定該點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，當(dāng)關(guān)系不確定時(shí)，應(yīng)分為點(diǎn)在圓內(nèi)、圓上與圓外三種情況分類討論，分別求解.

5 有關(guān)圓內(nèi)弦的問(wèn)題求解技巧

例題 已知⊙O的半徑R的長(zhǎng)度是5，圓內(nèi)有兩條線AB與CD，且AB與CD平行，其中弦AD的長(zhǎng)度是6，弦CD的長(zhǎng)度是8，那么這兩條平行弦之間的距離是多長(zhǎng)？

解題過(guò)程

學(xué)生在教師的指導(dǎo)下畫(huà)出以下圖形，（1）當(dāng)兩條弦在圓心的同側(cè)時(shí)，如圖1所示，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，根據(jù)AB∥CD可知，OE⊥CD，結(jié)合垂徑定理可得EB=3，F(xiàn)D=4，在Rt△AOE和Rt△COF中，OA=OC=5，由勾股定理可得出OE=4，OF=3，則EF=4-3=1;（2）當(dāng)兩條弦在圓心的異側(cè)時(shí)，如圖2所示，根據(jù)前面分析不難求出OE=4，OF=3，則EF=4+3=7，所以AB、CD之間的距離是1或者7.

解題點(diǎn)評(píng) 由于本題中沒(méi)有明確給出圖形，無(wú)法判斷兩條弦和圓心之間的位置關(guān)系，所以學(xué)生要考慮到兩條弦在圓心的同側(cè)或者則異側(cè)這兩種情形分別討論，分析可行性后求解.

6 結(jié)語(yǔ)

總而言之，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，圓類問(wèn)題是一類十分常見(jiàn)的題目，教師應(yīng)利用好平常解題訓(xùn)練的契機(jī)，多組織學(xué)生練習(xí)這些常見(jiàn)的題型，使其注重熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)，以及半徑、直徑、圓弧、弦、圓周角、圓心角的特征，同時(shí)指導(dǎo)他們學(xué)會(huì)運(yùn)用輔助線配合解題.

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