數(shù)列經(jīng)典題型突破

■河南省商丘市第一高級(jí)中學(xué) 周文輝

數(shù)列是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與熱點(diǎn)內(nèi)容,也是必考內(nèi)容,高考關(guān)于數(shù)列考點(diǎn)的命題,主要有以下幾個(gè)方面：(1)對(duì)數(shù)列的基本性質(zhì)、基本運(yùn)算的考查,經(jīng)常以選擇、填空題的形式出現(xiàn),屬于容易題;(2)由遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)而求數(shù)列的前n項(xiàng)和,考查化歸思想與幾種常見(jiàn)數(shù)列求和類(lèi)型的熟練程度,常以解答題的形式出現(xiàn),屬于中檔題;(3)數(shù)列與其他知識(shí)的綜合,如數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何的結(jié)合,以小題壓軸題的形式出現(xiàn),其中以數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合最為常見(jiàn)。

題型一：由遞推公式求通項(xiàng)公式

解決這一類(lèi)型問(wèn)題的核心思想是將非等差、等比數(shù)列通過(guò)構(gòu)造的方式,轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列后再進(jìn)行求解。

1a.n+1=pan+q類(lèi)型,求解此類(lèi)型的方法是將原式化為an+1+m=p(an+m),利用兩式的等價(jià)性求出m=。

例1 已知a1=1,an+1=2an+1,求an的通項(xiàng)公式。

解析：an+1+1=2(an+1),令bn=an+1,則bn為等比數(shù)列,可求其通項(xiàng)公式bn=b1=2,bn=b1×2n-1=2n,所以an=2n-1。

2.an+1=pan+qn類(lèi)型,此類(lèi)型的方法是將原式化利用累加法可求。

例2 已知a1=1,an+1=2an+3n+1,求an的通項(xiàng)公式。

題型二：數(shù)列最值問(wèn)題

解決這一類(lèi)型問(wèn)題常采用單調(diào)性方法,即判定數(shù)列的單調(diào)性,進(jìn)而求出最值;還可以采用注意采用這種方法求出的結(jié)果需要和a1進(jìn)行比較。

題型三：數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的深層理解

例5 已知an,bn是等差數(shù)列,Sn,Tn為其前n項(xiàng)和

例6 已知an,bn是等比數(shù)列,Sn,Tn為其前n項(xiàng)和