對(duì)第一類換元積分法的研究與改進(jìn)

陳 思 閆偉杰

（浙江同濟(jì)科技職業(yè)學(xué)院，浙江 杭州311231）

1 概述

第一類換元積分法（也稱湊微分法）是在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到的第一種積分方法，也是在積分計(jì)算題目中運(yùn)用最廣泛的一種方法。其思路是通過引進(jìn)中間變量作變量替換，使原式結(jié)構(gòu)變得更加簡單，從而解決較為復(fù)雜的不定積分問題。常規(guī)的換元方法存在選取合適的中間變量難、湊微分時(shí)容易配錯(cuò)常數(shù)等問題，尤其是對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱、微分公式運(yùn)用不夠靈活的學(xué)生，在做題過程中特別容易出錯(cuò)，從而產(chǎn)生畏難情緒。針對(duì)這個(gè)問題，本文提出了一種更為簡單且不容易出錯(cuò)的換元方法，避開了湊微分時(shí)配常數(shù)的計(jì)算，降低了換元難度。

2 第一類換元積分的常規(guī)解法

第一類換元積分法是復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t的逆推。若F（x）是f（x）的一個(gè)原函數(shù)：

其中被積函數(shù)是以f（φ（x））·φ'（x）出現(xiàn)的，但解決實(shí)際題目時(shí)，很少會(huì)直接給出這樣的結(jié)構(gòu)，所以選取一個(gè)合適的中間變量u=φ（x），是解決題目的關(guān)鍵。

常規(guī)解題思路為：

（1）觀察：選取合適的中間變量u=φ（x）；

（2）求微分：φ'（x）dx=d（φ（x））；

（3）換元：將原式中的φ'（x）dx 換為d（φ（x）），或是原式中的c·φ'（x）dx 換為c·d（φ（x）），其中c 為常數(shù)；

（4）求積分：將簡化過的式子運(yùn)用合適的積分公式，求出原函數(shù)。

下面以兩道例題來說明：

（1）觀察：選取u=1+x3；

（2）求微分：3x2dx=d（1+x3）；

（4）求積分：

（1）觀察：選取u=3lnx+1；

（4）求積分：

從上面兩道例題中，不難發(fā)現(xiàn)解題過程中存在兩個(gè)難點(diǎn)：

第一，換元時(shí)，若題目中包含c·φ'（x）dx，需要進(jìn)行常數(shù)的計(jì)算。學(xué)生經(jīng)常在此處漏算或錯(cuò)算常數(shù)，考試中這常常是該類題目的主要失分點(diǎn)；

3 改進(jìn)的換元方法——直接對(duì)被積變量進(jìn)行換元求解

步驟如下：

（1）觀察：選取合適的中間變量u=φ（x）；

（3）求積分：將簡化過的式子運(yùn)用合適的積分公式，求出原函數(shù)。

前面兩個(gè)例子用直接對(duì)被積變量進(jìn)行換元求解如下：

（1）觀察：選取u=3lnx+1；

（2）計(jì)算微分公式并直接換元

（1）觀察：選取u=3lnx+1；

（3）求積分：

4 結(jié)論