一道考研數學試題的多種解法

崔靜靜，趙思林

（內江師范學院數學與信息科學學院 641112）

發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維的最主要的特點，是測定創(chuàng)造力的主要標志之一。一題多解能夠培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力，引導學生深入地探索問題，培養(yǎng)學生靈活多變處理問題的能力[1]。本文介紹2018年全國碩士研究生入學考試一道數學試題的6種解法，作為一題多解的一個實例，僅供參考。原題如下：

方法1（教育部考試中心參考答案）

評析：方法1屬于常規(guī)方法，可用湊微分法（第一類換元積分法），將原式變?yōu)?，然后考慮用分部積分。用觀察法可得，從而將裂項，變?yōu)槭强疾榭忌囊粋€分水嶺，此處看似簡單，對學生的思維要求極高。

方法2

方法3

令t=ex-1，則x=ln(t+1)，所以所以原式

由t=ex-1，則上式

方法4

方法5

方法6

將t=ex代入此式，

評析：相比方法1和方法2，方法3至方法6均用換元法，把原式變?yōu)槭煜さ男问?，將復雜的計算和推證簡化。

以上解法表明：湊微分法是求不定積分最簡單的方法之一[2]。在解積分題目時，應注意一題多解，用多種方法解同一道題通常比盲目的做幾道題的效果好。選擇一道好的例題，通過一題多解，一題多講，可以鞏固學生的知識，訓練其思維，開拓其視野[3]。