例談待定系數(shù)法在解題中的妙用

張尚琦

待定系數(shù)法是一種求未知數(shù)的數(shù)學(xué)方法.運(yùn)用待定系數(shù)法解題的步驟是：先利用已知條件設(shè)一個含有待定系數(shù)的等式，然后根據(jù)恒等關(guān)系列出含待定系數(shù)的方程或者方程組，最后通過解方程（組）或者消去待定系數(shù)得到未知數(shù)的解.待定系數(shù)法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用非常廣泛，在高中數(shù)學(xué)中也會涉及，所以同學(xué)們一定要掌握好這一方法.

一、待定系數(shù)法在因式分解中的應(yīng)用

因式分解的目的是依據(jù)恒等變形的原則將式子變形來方便運(yùn)算.對于復(fù)雜的因式分解可以采用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法分解因式，先要按已知條件把原式假設(shè)成若干個因式的連乘積，這些因式中的系數(shù)可先用字母表示，它們的值是待定的，然后根據(jù)因式連乘積的展開式與原式的系數(shù)相等，建立有關(guān)待定系數(shù)的方程組，最后解方程組即可求出待定系數(shù)的值.

評注：在分解復(fù)雜多項(xiàng)式時(shí)，可將原式設(shè)為若干個多項(xiàng)式的乘積，然后展開比較其與原式的系數(shù)關(guān)系，利用兩個多項(xiàng)式對應(yīng)的系數(shù)一定相等這個結(jié)論，將因式分解問題轉(zhuǎn)化為解方程組的問題，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)求解的目的.

二、待定系數(shù)法在求解分式方程中的應(yīng)用

對于解分式方程除了用常規(guī)方法外，還可以用待定系數(shù)法.利用待定系數(shù)法解分式方程的步驟是：首先將分式方程中的某一分式拆分成幾個簡單的分式之和，再將分式通分，然后對比該式與原式的關(guān)系，根據(jù)等式中對應(yīng)項(xiàng)的字母系數(shù)相等，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，求出待定系數(shù)即可.注意在拆分分式時(shí)，分母含二次項(xiàng)，一般設(shè)分子為 Ax + B 形式;分母只含一次項(xiàng)，則設(shè)分子為常數(shù).

點(diǎn)評：若用常規(guī)方法求解，去分母后，得到的是一個關(guān)于 x 的一元二次方程，這有可能使未知數(shù)的取值范圍擴(kuò)大，從而產(chǎn)生增根.而采用待定系數(shù)法，能夠避免產(chǎn)生增根.

三、待定系數(shù)法在求二次函數(shù)解析式中的應(yīng)用

待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的重要方法.利用待定系數(shù)法解二次函數(shù)解析式的步驟就是：首先根據(jù)已知條件將二次函數(shù)設(shè)為一般式、頂點(diǎn)式或交點(diǎn)式中的一種，其次依據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式的特點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式中，列出含未知系數(shù)的方程組，最后求解方程組即可得到二次函數(shù)解析式.

例3已知二次函數(shù)的對稱軸為 x =2，且經(jīng)過點(diǎn)（1，4），（5，0），求二次函數(shù)的解析式.

點(diǎn)評：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，要注意恰當(dāng)選擇解析式的形式.盡可能使表達(dá)式中待定系數(shù)的個數(shù)最少，且簡便易求，上題中方法三就更簡單.

待定系數(shù)法是一種重要的、常用的數(shù)學(xué)方法，被廣泛應(yīng)用于解答因式分解、解分式方程、求函數(shù)解析式等數(shù)學(xué)問題中.同學(xué)們應(yīng)注意歸納總結(jié)，多加練習(xí)，熟練掌握待定系數(shù)法的運(yùn)用技巧.