凸性

理論基礎(chǔ)是函數(shù)的凸性. 關(guān)于函數(shù)的凸性，我們利用二階導(dǎo)數(shù)判斷，當f″(x)≤0在區(qū)間M上成立時，f(x)在區(qū)間M上為上凸函數(shù)；當f″(x)≥0在區(qū)間M上成立時，f(x)在區(qū)間M上為下凸函數(shù).圖1這樣，我們得到了在[0,1]上的不等關(guān)系故原不等式成立，取等條件為a=b=c=d=1.點評本題是利用割線放縮的一道典型例題，首先，整體的放縮方向是“往大放”，同時考慮到函數(shù)的凸性是“下凸”，于是想到“封口”處理. 從圖1來看，直線和函數(shù)是“割線”關(guān)系，故名割線放縮.

等式得證.由f的凸性及αbα?1(b?a)≤bα?aα≤αaα?1(b?a)，有式（8）的右邊不等式得證.注1 式（8）的左邊不等式是式(4)的左邊不等式的加強.事實上，由貝努利不等式，對任意有xα≤1+α(x?1)≤1?αx，故有注2 式(8)的右邊不等式與式(4)的右邊不等式各有強弱.事實上，當αaα?1≥bα?1時，有定理4 設(shè)α∈(0,1]，0利用微分中值定理，存在ξ∈(a,b)，，使得(i)當f(b)≥pf(a)時，有a≤c1≤d，c2≥b，由引

多不等式的存在與凸性有關(guān).集合的凸性的定義如下:設(shè)X是實數(shù)域R上向量空間V上的一個集合.如果?x,y∈X, ?λ,μ∈R+，且λ+μ=1,有λx+μy∈X,則稱X是一個凸集.凸體(非空緊凸集)的幾何性質(zhì)導(dǎo)致了許多不等式的產(chǎn)生,如Brunn-Minkowski不等式和Blashcke-Santalo不等式,它們分別與兩個凸體的和與積的體積有關(guān).后來,凸性被擴展到具有不同運算的不同數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),如偏序集、格、度量空間.設(shè)X是一個凸集,f:X→R.如果?x,y∈X,

言通過研究函數(shù)凸性的梯度刻畫，獲得梯度向量映射的單調(diào)性，反過來可作為函數(shù)凸性的有力判據(jù).隨著函數(shù)凸性的不斷推廣以及相應(yīng)的梯度刻畫結(jié)論的獲得，單調(diào)映射的概念也不斷地被推廣并加以研究，這不僅使得廣義凸性的刻畫更加豐富，同時也極大豐富了優(yōu)化理論內(nèi)容 .1976 年，Karamardian［1］提出偽單調(diào)性；1990 年，Karamardian和 Schaible［2］提出擬單調(diào)性，并給出了偽凸性與偽單調(diào)性、擬凸性與擬單調(diào)性之間的等價性.以此為開端，國內(nèi)外學(xué)者依

ch空間X的廣義凸性模。定義2[7]函數(shù)x,y∈S(X)},α∈(0,1)被稱為是Banach空間的廣義光滑模。定義3設(shè)M={(x,y)∈S(X)×S(X),?fx∈S(X*),fx(x)=‖x‖,fx(y)=0}。這里的α便是廣義凸性模，廣義光滑模中的α。當g′(s)存在時文[8]的結(jié)果表明因而g′(t)=N±(x+ty,y)=fx+ty(y),證閉。2 主要內(nèi)容在給出了一些說明與基本定義之后，下面便是對廣義凸性模，廣義光滑模與特征函數(shù)關(guān)系的探討，于是我

套教材都對函數(shù)的凸性進行了定義.文獻[1]基于區(qū)間上任意兩點的中點來定義函數(shù)的凸性，即所謂中點凸，而文獻[2]則是基于任意兩點的凸組合來定義函數(shù)的凸性.筆者在講授高等數(shù)學(xué)[1]時，一直認為兩種定義是等價的，但并沒有去深究在什么條件下等價，為什么等價.近來，筆者想探究這兩種凸性定義是否等價的愿望愈發(fā)強烈，于是對兩種凸性的定義進行了認真研究.為了討論方便，如果沒有特別指明，下文所述區(qū)間I既可以是閉區(qū)間也可以是開區(qū)間，區(qū)間I0表示去掉區(qū)間I的端點后形成的開區(qū)間，

都數(shù)是限定在一個凸性一致的區(qū)間,比如利用琴生不等式來解決問題[1-2],對于不限定在一個凸性一致的區(qū)間的問題甚少有文章研究.本文主要研究《數(shù)學(xué)通報》的問題2530 的一般化,解決了三元立方和在一個非凸性一致區(qū)間的最大值問題.問題(《數(shù)學(xué)通報》2020年2 月號問題2530[3])已知a,b,c ∈[?2,2],a+b+c=0,求a3+b3+c3的最大值.供題人張云華構(gòu)造了一個函數(shù)(x?2)(x+1)2=x3?3x?2,作者利用這個函數(shù)恒不大于0,得到a3+

函數(shù)的連續(xù)性以及凸性性質(zhì)，結(jié)合Slater約束品性條件，建立了參數(shù)不等式系統(tǒng)解集的相關(guān)閉性性質(zhì)。關(guān)鍵詞：參數(shù)不等式系統(tǒng);Slater約束品性;連續(xù)性;凸性定理：考慮參數(shù)不等式系統(tǒng)，其中，均為實值函數(shù)且參數(shù)。我們記向量并且上述不等式系統(tǒng)的解集為。假設(shè)上述參數(shù)不等式系統(tǒng)的Slater約束品性成立，即是說，，則以下結(jié)論成立：（1）若均為連續(xù)函數(shù)，則有。（2）若均為凸函數(shù)，則有，由此可得。證明：（1）任取，由可知，存在序列，使得。因此，我們有。注意到，均為連續(xù)函數(shù)

0)近年來，隨著凸性理論在優(yōu)化領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，涌現(xiàn)出豐碩的研究成果。文獻[1-6]提出了(C,α,ρ,d)-凸函數(shù)，并對包含此類凸性的多目標、分式規(guī)劃等問題的最優(yōu)性條件與對偶性定理進行了研究。受上述文獻啟示，作者結(jié)合文獻[7-8]中提出的廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸性，討論了一類多目標半無限分式規(guī)劃的Mond-Weir型對偶問題。1 基本概念定義1[1]稱函數(shù)C:X×X×Rn→R在Rn上關(guān)于第三個變元是凸的, 若?(x,x0)∈X×X, ?y1,y2∈

文獻提出的新廣義凸性概念基礎(chǔ)上，針對包含此類廣義凸性的分式規(guī)劃的對偶問題進行了探討，得到的結(jié)果豐富了廣義凸性和最優(yōu)化的有關(guān)理論，可進一步研究其Wolfe型對偶性、鞍點等內(nèi)容。參考文獻：[1]YUAN D H， LIU X L， CHINCHULUUN A， et al. Nondifferentiable minimax fractional programming problems with （C，α，ρ，d）-convexity [J]. Journa

判斷多元二次函數(shù)凸性的方法。2 基本概念定義1.2.1 凸函數(shù)：設(shè)函數(shù)f：D?Rn→R，其中D為凸集，對任意的x，y∈D及任意的實數(shù)λ∈[0，1]都有f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y)，稱f為D上的凸函數(shù)。定義1.2.2 嚴格凸函數(shù)：設(shè)函數(shù)f：D?Rn→R，其中D為凸集，對任意的x，y∈D，x≠y及任意的實數(shù)λ∈[0，1]都有f(λx+(1-λ)y)3 定理定理1.3.1 設(shè)f在凸集D?Rn上一階連續(xù)可微，則f在D上為凸函數(shù)的充要條件

標規(guī)劃問題中各種凸性及其推廣也被廣泛應(yīng)用。例如，文獻[2]將文獻[1]引入的不變凸性理論推廣為I型和II型不變凸性；文獻[3]對文獻[2]進行了進一步推廣和應(yīng)用；后來文獻[4]推廣了各種I型不變凸性，并提出了向量型不變凸性等相關(guān)概念，引入了V-I型、偽V-I型、擬V-I型等廣義不變凸函數(shù)，并在這些廣義I型的不變凸性條件下討論了關(guān)于多目標規(guī)劃的一些對偶性定理和最優(yōu)性條件；文獻[5]在對稱可微的非光滑情況下把各種V-I型函數(shù)進行了推廣，并給出了V-Is型等一些

論涉及這類新廣義凸性的一類多目標半無限規(guī)劃的最優(yōu)性條件。關(guān)鍵詞：多目標規(guī)劃;半無限規(guī)劃;廣義（C，α，ρ，d）K，θ-凸函數(shù);最優(yōu)性中圖分類號：O221.6文獻標識碼： A隨著多目標最優(yōu)化和半無限規(guī)劃的研究發(fā)展，凸性理論逐步被廣泛地應(yīng)用到各個研究范疇中，且取得了許多有意義的重要成果。文獻[1]引入了（F，α，ρ，d）-凸函數(shù)，文獻[2]對其進一步推廣，得到了（C，α，ρ，d）-凸函數(shù)，并研究了涉及這類凸性的最優(yōu)性條件和對偶結(jié)果。文獻[3-7]對于涉及（C，

，故由y=xn的凸性，fn(s)+fn(t)=sn+tn≤dn+1．另一方面，而d∈(0,1)，故dn+1從而fn(s)+fn(t)=s+t≥sn+tn=fn(s)+fn(t).由二項式定理，fn(s+t)-fn(t)=故fn(s)+fn(t)fn(s)=sn≤s，而同(iii)可得fn(s+t)>s+t，故fn(s)+fn(t)因此fn(s)≤1+(s-1)=s，≥fn(s)+fn(t)．展開完全平方得>s≥sn=fn(s)，故fn(s)+fn(t)fn

規(guī)劃的研究發(fā)展，凸性理論逐步被廣泛地應(yīng)用到各個研究范疇中，且取得了許多有意義的重要成果。文獻[1]引入了(F,α,ρ,d)-凸函數(shù)，文獻[2]對其進一步推廣，得到了(C,α,ρ,d)-凸函數(shù)，并研究了涉及這類凸性的最優(yōu)性條件和對偶結(jié)果。文獻[3-7]對于涉及(C,α,ρ,d)-凸性的多目標規(guī)劃、多目標分式規(guī)劃等問題的最優(yōu)性和對偶理論進行了研究。作者在此基礎(chǔ)上，結(jié)合局部漸近錐、K-方向?qū)?shù)[8]和K-次微分[9]，提出廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸函數(shù)，并

創(chuàng)新性價格機制;凸性;最低準入創(chuàng)新性中圖分類號?F019.1; F270; F273.1 文獻標識碼?AAbstract?It has not received attention how the economic system compensates self-control， from those current studies which focus on the axiomatization foundation and decision appl

.關(guān)于模糊映射的凸性、擬凸性及B-凸性,一些文獻已有討論.1994年,Noor[1]提出預(yù)不變凸模糊數(shù)值函數(shù)的概念,并討論了模糊數(shù)值函數(shù)的預(yù)不變凸性；2016年,Gong等[2]在定義n維模糊數(shù)空間偏序關(guān)系的基礎(chǔ)上,對n維模糊映射的凸性進行了系統(tǒng)研究,但對n維模糊映射廣義凸性的本質(zhì)研究還需進一步深入.本文利用n維凸模糊數(shù)值函數(shù)的一些研究，首先提出n維模糊數(shù)值函數(shù)的s-不變凸、嚴格s-不變凸、s-預(yù)不變凸和半嚴格s-預(yù)不變凸的概念，其次利用n維模糊數(shù)值函數(shù)依

具，即修正久期和凸性。在對麥考利久期、修正久期、凸性進行概念介紹時，同時也介紹了修正久期和凸性的適用情況，并運用實例分析進行說明。關(guān)鍵詞 利率類債券；麥考利久期；修正久期；凸性當投資者投資利率類債券時，總是希望獲得收益，而唯恐價格發(fā)生不利變動導(dǎo)致自己的資產(chǎn)價值受損。市場上的基準利率是債券價格的晴雨表，而基準利率是不穩(wěn)定的，使得投資者的資產(chǎn)價值經(jīng)常發(fā)生變動，這就是投資者面臨的利率風(fēng)險。投資者需要了解到自己面臨的利率風(fēng)險的大小，即債券價格相對于利率變化的敏感性

反映初等對稱函數(shù)凸性的一個一般性定理.【關(guān)鍵詞】初等對稱函數(shù)；不等式；凸性初等對稱函數(shù)與對稱平均的課題開啟于G.H.Hardy與J.E.Littlewood的名著[1].多年來，各國學(xué)者對初等對稱函數(shù)精細性質(zhì)的進一步探討始終未停止過.早在20世紀50年代末期，M.Marcus、J.B.McLeod等就有過十分深入的研究[2]-[3].朱宗毅在文[4]中再度給出一個新穎的不等式，此不等式刻畫了初等對稱函數(shù)的凸性，筆者發(fā)現(xiàn)，此結(jié)果可以做一種實質(zhì)性推廣.一個猜測

nach 空間的凸性[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2006, 45(1): 17-19.LI Y J, LIN J Z. Bilinear continuous functional and convexity of Banach spaces [J]. Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni, 2006, 45(1): 17-19.[9] 華柳斌，黎永錦. 2-賦范空間和擬Bana

規(guī)劃的研究發(fā)展，凸性理論逐步被廣泛地應(yīng)用到各個研究范疇中，且取得了許多有意義的重要成果。文獻[1]引入了(F,α,ρ,d)-凸函數(shù)，文獻[2]對之推廣，得到了(C,α,ρ,d)-凸函數(shù)，并研究了涉及這類凸性的最優(yōu)性條件和對偶結(jié)果。文獻[3-7]對于涉及(C,α,ρ,d)-凸性的多目標規(guī)劃、多目標分式規(guī)劃等問題的最優(yōu)性和對偶理論進行了研究。受此啟發(fā)，結(jié)合局部Lipschitz函數(shù)、局部漸近錐K、K-方向?qū)?shù)和K-次微分，提出了一類廣義(C,α,ρ,d)K,θ

及其Schur冪凸性何 燈，李云杰（福建省福清第三中學(xué)，福建 福清 350315）定義了兩個新的雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)的復(fù)合平均，運用分析方法，研究了這兩個平均的Schur冪凸性，給出了判定的充要條件.Schur凸性；Schur冪凸性；雙曲函數(shù)；反雙曲函數(shù)0 引言2003年，《美國數(shù)學(xué)月刊》11031問題定義了如下“奇特”平均并提出一個相關(guān)的不等式猜想：問題11031設(shè)x，y＞0，平均M（x，y）＝lnN（x，y），其中求證或否定M（x，y）≤G（x，y）.

間點的G-預(yù)不變凸性下得到了G-預(yù)不變凸函數(shù)的一個判定定理，然后將已有文獻的結(jié)果進行了推廣，得到了在中間點的強G-預(yù)不變凸性下強G-預(yù)不變凸函數(shù)的兩個重要的判定定理。強G-預(yù)不變凸函數(shù)；嚴格G-預(yù)不變凸函數(shù)；半嚴格G-預(yù)不變凸函數(shù)0 引言在研究最優(yōu)化問題時，凸性和廣義凸性起著很重要的作用。近年來，國內(nèi)外很多學(xué)者將凸函數(shù)不斷進行推廣，得到了一系列的廣義凸函數(shù)及其相關(guān)成果，具體見參考文獻[1-8],這些文獻詳細介紹了不變凸性、預(yù)不變凸性、強預(yù)不變凸性、G-預(yù)不

物偏微分方程解的凸性麻希南(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230026)我們給出橢圓與拋物偏微分方程解或其水平集的凸性的一個文獻綜述.從三個經(jīng)典例子開始，然后介紹凸性研究的常用方法，最后給出幾個定量估計，其中注重與我個人研究有關(guān)的結(jié)果.偏微分方程解的凸性； 偏微分方程解的水平集的凸性； 常秩定理； 凸性定量估計1 凸性的研究歷史：三個經(jīng)典例子長久以來偏微分方程解的幾何性態(tài)是偏微分方程研究的重要課題之一，橢圓與拋物偏微分方程解或其水平集的凸性是重要的研究對象

?強擬α-預(yù)不變凸性與最優(yōu)化李 婷(山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院,山西 太原 030031)考慮了一類重要的廣義凸函數(shù)-強擬α-預(yù)不變凸函數(shù),首先給出了強擬α-預(yù)不變凸函數(shù)的一個性質(zhì),然后討論了強擬α-預(yù)不變凸函數(shù)分別在帶不等式約束的非線性規(guī)劃問題及多目標規(guī)劃問題中的應(yīng)用,得到了一些最優(yōu)性結(jié)果.強擬α-預(yù)不變凸函數(shù);擬α-預(yù)不變凸函數(shù);非線性規(guī)劃;多目標規(guī)劃凸性及廣義凸性在經(jīng)濟均衡、管理科學(xué)、對策論及數(shù)學(xué)規(guī)劃等理論中起著非常重要的作用.近年來,對凸性和廣義凸性的研究已

亮張興摘要：介于凸性模與廣義凸性模具有對偶關(guān)系以及廣義凸性模有許多優(yōu)良性質(zhì)，為了研究是否存在與廣義凸性模具有對偶性質(zhì)的模、若存在這種模那么該模具有什么樣的性質(zhì)等問題，作者從構(gòu)造與廣義凸性模具有對偶性質(zhì)的模入手，通過應(yīng)用Hahn，Banach定理找到光滑模的推廣形式并給出相應(yīng)的定義，在給出定義后，作者證明了作為光滑模推廣形式的廣義光滑模，其能夠精確的刻畫Banach空間的一致光滑性，并研究了廣義光滑模的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，最后作為應(yīng)用給出了Banach空間

430205)凸性及廣義凸性問題已經(jīng)引起了數(shù)學(xué)工作者們極大的興趣與關(guān)注，并取得了很多重要結(jié)果，但是由于許多理論問題尚處于發(fā)展之中，很多結(jié)論仍有待進一步完善，對凸性的認識還需進一步系統(tǒng)化。文章充分運用文獻研究法，在翻閱大量國內(nèi)外的參考文獻的基礎(chǔ)上，給出線性拓撲空間中函數(shù)的凸性定義及等價定義，進一步完善多元凸函數(shù)的性質(zhì)及判定等問題，從而豐富了凸函數(shù)的理論。凸集；多元凸函數(shù)；凸性近2個世紀，凸函數(shù)的研究主要有以下幾個方面： 其一，凸函數(shù)的應(yīng)用研究.Jensen

凸函數(shù)以來，不變凸性在最優(yōu)化理論中扮演了很重要的角色．對于約束非線性優(yōu)化問題，不變凸性假設(shè)條件是臨界點為最優(yōu)點的充分條件，但不是必要條件．文獻［3］提出了一個更弱的概念，稱之為 KKT-不變凸性，他證明了該條件是Kuhn-Tucker點成為最優(yōu)點的充分必要條件．文獻［4-6］將KKT-不變凸性概念及最優(yōu)性結(jié)果推廣到了多目標規(guī)劃中，并刻畫了弱有效解．近年來，文獻［7］提出一種新的可微函數(shù)——G-不變凸函數(shù)．他的研究表明，大多不變凸函數(shù)的全局最優(yōu)性質(zhì)同樣對于G

01)等差數(shù)列的凸性和對數(shù)凸性石煥南1, 李 明2(1. 北京聯(lián)合大學(xué)師范學(xué)院 電氣信息系, 北京 100011; 2. 中國醫(yī)科大學(xué) 數(shù)學(xué)教研室, 沈陽 110001)研究了等差數(shù)列的凸性和對數(shù)凸性. 進而利用受控理論證明了一些等差數(shù)列不等式.等差數(shù)列; 凸性; 對數(shù)凸性; 不等式; 受控本文研究等差數(shù)列的凸性和對數(shù)凸性并利用受控理論證明一些等差數(shù)列不等式.設(shè){ai}是公差為d的等差數(shù)列, 則其通項ai=a1+(i?1)d, 前n項之和在本文中, Rn和

開始對局部凸空間凸性的研究，之后，文獻［2］進一步研究了嚴格凸的條件。1989年，文獻 ［3］中給出與文 ［2］中嚴格凸等價的定義，同時首次給出局部凸空間光滑性的定義，并建立嚴格凸性與光滑性的對偶關(guān)系，隨后又在文獻［4］中給出局部凸空間一致凸性的概念。2003年，文獻 ［5］利用X上定義的一族半范數(shù)P，重新給出偶對 (X，P)的幾種凸性和光滑性的定義，討論了幾種凸性 (光滑性)之間的關(guān)系，并建立重要的對偶關(guān)系。2010年，文獻［6］將幾種凸性和光滑性推廣為

了嚴格r-預(yù)不變凸性和半嚴格r-預(yù)不變凸性的等價條件.r-預(yù)不變凸函數(shù);嚴格r-預(yù)不變凸函數(shù);半嚴格r-預(yù)不變凸函數(shù);1 引言在數(shù)學(xué)規(guī)劃、最優(yōu)化等領(lǐng)域中,凸性及廣義凸性起著十分重要的作用.因此,對凸性及廣義凸性的研究具有十分重要的意義.1999年,文獻[1]引入了r-不變凸函數(shù)的定義并討論了它的一些性質(zhì)特征.2005年,文獻[2]在預(yù)不變凸性和r-凸性的基礎(chǔ)上,結(jié)合r-不變凸函數(shù)的定義給出了r-(嚴格)預(yù)不變凸函數(shù)的定義.此外,文獻[3]引入了(半)嚴格預(yù)

函數(shù)的Schur凸性、Schur幾何凸性和Schur調(diào)和凸性,證明并推廣了一類條件不等式,并據(jù)此建立了某些單形不等式.Schur凸性;Schur調(diào)和凸性;Schur幾何凸性;條件不等式;單形DO I：10.3969/j.issn.1008-5513.2013.05.0011 定義和引理2 主要結(jié)果及其證明3 幾何應(yīng)用證明由定理3的(13)式可得證.致謝作者感謝張晗方教授給予本文的熱情幫助.[1]M arshall A W,Olkin I,A rnold B

]上的Schur凸性，并加細了上述不等式，其結(jié)果是：對于a,b∈[0,π/2]，a≤b，有：本文類比文獻[2]，定義如下兩個新的三角平均：當a≠b時，(3)(4)當a=b時，Mcos(a,b)=Mcot(a,b)=a。本文根據(jù)凸函數(shù)理論，證明Mcos在[0,π/2],上是Schur凸函數(shù)，Mcot(a,b)在,[0,π/2],上是Schur凹函數(shù)，并由此給出一個新的不等式鏈。2　定義和引理為證明本文的主要結(jié)果，需要如下定義和引理：對于x=(x1,x2,…x

平均的Schur凸性和Schur幾何凸性［J］.湖南理工學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2011，24（2）：7～10.［3］李明，何燈.一個Seiffert平均的Schur凸性和Schur幾何凸性［J］.廣東第二師范學(xué)院學(xué)報，2011，31（3）：23～25.［4］Neuman E，Sàndor J.On the Schwab－Borchardt meanⅡ［J］.MathPannon，2006，17（1）：49～59.［5］Li Yong－min，Long B

幾何凸函數(shù)的幾何凸性，研究了幾何凸函數(shù)的判定條件和特性，通過構(gòu)建輔助凸函數(shù)的方法，建立了幾何凸函數(shù)的兩個充要條件，并給出了其應(yīng)用.幾何凸函數(shù)；充要條件；應(yīng)用MSC 2000：26D15 52A400 引言及預(yù)備知識函數(shù)的凸性在控制論、線性規(guī)劃、最優(yōu)化理論中有著廣泛的應(yīng)用.隨著應(yīng)用的深入，又推動了函數(shù)凸性的研究，從而使函數(shù)凸性的研究成為一個熱點.作為函數(shù)凸性研究的一個重要方面，如函數(shù)的Schur凸性，文獻［1］討論了一類對稱函數(shù)的Schur凸性和凹性，建立了

函數(shù)的Schur凸性問題，這里0＜x1＜1，i＝1，2，...n.本文研究Ψ（x）的對偶形式：其中，0＜x1＜1，i＝1，2，...n. 我們將討論此函數(shù)的Schur凸性和Schur幾何凸性問題，并利用“優(yōu)化理論”建立一些解析不等式。2 Ψk，n（x）的 Schur凸性為此，我們分兩種情形進行討論。情形1. 當k＝2時，直接計算可得取對數(shù)并求導(dǎo)，可得于是，當x1≠x2時，我們有情形2. 當3≤k≤n－1時 ，我們不難得到取對數(shù)并求導(dǎo)，得到當x1≠x2時 ，

研究了在各種不同凸性定義下n-集函數(shù)的多目標規(guī)劃的最優(yōu)性理論, Lai H C和Huang T Y[1]討論了廣義(ρ,θ)不變凸性下n-集函數(shù)的極小極大規(guī)劃的最優(yōu)性條件,近來Preda V等[2]研究了在廣義V一致不變凸性下多目標規(guī)劃的重要理論.受文獻[1-2]的啟發(fā),本文提出了廣義type-I型的(ρ,ρ*,θ)-V不變凸函數(shù),并在這類凸性下給出了極小極大規(guī)劃的最優(yōu)性充分條件.考慮如下規(guī)劃:其中,Γn是對于給定集合X的σ代數(shù)Γ的n-折積, Fi,Gi,

合函數(shù)的偽凸和擬凸性。首先為偽凸函數(shù)、嚴格偽凸函數(shù)、擬凸函數(shù)、嚴格擬凸函數(shù)和強擬凸函數(shù)定義，然后為利用相關(guān)定義證明復(fù)合函數(shù)在一定條件下的偽凸性、嚴格偽凸性、擬凸性、嚴格擬凸性及強擬凸性，并給出了若干例子[5-8]。1 預(yù)備知識定義1[1]令X?Rn是一非空開凸集，f:X→R1是一可微的實值函數(shù)。1）如果對任意兩點x1，x2∈X，滿足時，都有f（x1）≥f（x2），則稱 f是X中的偽凸函數(shù)。2）如果對任意兩點x1，x2∈X，且 x1≠x2，滿足時，都有f（x

了模糊映射的一致凸性及其有關(guān)性質(zhì),給出了模糊映射為一致凸的幾個判別準則,并得到了可微一致凸模糊映射在某一點達到最小值的充分條件.模糊數(shù);模糊映射;一致凸性1 引言隨著數(shù)學(xué)規(guī)劃、數(shù)理經(jīng)濟和最優(yōu)控制論等學(xué)科發(fā)展的需要,凸性理論日益受到人們的重視.許多學(xué)者對模糊映射在凸集上的廣義凸性及其在數(shù)學(xué)規(guī)劃中的應(yīng)用方面進行了不少的研究工作,極大地豐富了數(shù)學(xué)規(guī)劃的研究內(nèi)容.由于一致凸函數(shù)在非線性最優(yōu)化算法中經(jīng)常被應(yīng)用,因此對它的研究受到最優(yōu)化研究人員的重視,本文將要討論模糊