一個二元p-凸函數的Hermite-Hadamard不等式

柏振宇, 柏傳志

(1.江蘇大學 數學科學學院， 江蘇 鎮(zhèn)江 212013； 2.淮陰師范學院 數學與統(tǒng)計學院, 江蘇 淮安 223300)

0 引言

不等式在幾乎所有數學分支中都是非常有用的工具.例如約束優(yōu)化問題中的可行集就是用不等式表示的.不等式在自然科學以及數學的所有分支處理各種各樣的問題中是不可或缺的工具.例如, 隨機分析和概率中的切比雪夫和馬爾可夫不等式[1],矩陣理論中的哈達瑪不等式[2],控制理論中的李雅普諾夫不等式,經濟學中經常用來處理均衡問題的變分不等式.

許多不等式的存在與凸性有關.集合的凸性的定義如下:

設X是實數域R上向量空間V上的一個集合.如果?x,y∈X, ?λ,μ∈R+，且λ+μ=1,有λx+μy∈X,則稱X是一個凸集.

凸體(非空緊凸集)的幾何性質導致了許多不等式的產生,如Brunn-Minkowski不等式和Blashcke-Santalo不等式,它們分別與兩個凸體的和與積的體積有關.后來,凸性被擴展到具有不同運算的不同數學結構,如偏序集、格、度量空間.

設X是一個凸集,f:X→R.如果?x,y∈X, ?λ,μ∈R+且λ+μ=1,有

f(λx+μy)≤λf(x)+μf(y),

則稱f是一個凸函數.

凸函數作為一類重要的函數,具有很多重要的性質,特別是在函數極值、數學規(guī)劃、控制論等許多領域都有著廣泛的應用.對于一元凸函數的性質和應用已經有非常廣泛的研究[3-5].十九世紀末,Hermite 和 Hadamard在研究凸函數的性質時,分別獨立地得到了下面的不等式.

若f:[a,b]→R是一個可積的凸函數,則

(1)

稱為Hermite-Hadamard的不等式.函數凸性產生了大量不等式,Jensen不等式和Hermite-Hadamard不等式,都是基于凸性的最主要的兩個不等式.

理論和應用的發(fā)展導致了一類新的凸性,如B-凸性,p-凸性等.許多作者研究了經典凸函數的多種不等式,并將其推廣到新的凸類型．到目前為止,一元凸函數的Hermite-Hadamard不等式問題的研究,有著豐富的成果[6-7].本文將給出二元p-凸函數的Hermite-Hadamard型不等式.

1 預備知識和引理

多元凸函數的研究是近幾十年形成和發(fā)展起來的一個新的數學分支,在數學規(guī)劃和控制論等領域有著廣泛的應用.

定義1[8]設D是R2上的一個凸集,函數f在D上有定義, 如果對于?λ∈(0,1),?(x1,x2),?(y1,y2)∈D,有

f(λx1+(1-λ)y1,λx2+(1-λ)y2)≤λf(x1,x2)+(1-λ)f(y1,y2)

(2)

則稱函數f為D上的凸函數．

注1n元凸函數可類似地定義．式(2)可推廣到n元連續(xù)凸函數.

最近，文[9]給出并證明了特殊區(qū)域上的多元凸函數的Hermite-Hadamard不等式.

定理1(二元凸函數的Hermite-Hadamard不等式) 設函數f:[a,b]×[c,d]→R是二元連續(xù)凸函數, 則

(3)

文[10]給出了p-凸集與p-凸函數的概念,如下.

定義2[10]設U是Rn的一個子集及0

定義3[10]設U?Rn是一個p-凸集與f:U→R.如果?t,s∈[0,1]且tp+sp=1,使得

f(tx+sy)≤tf(x)+sf(y), ?x,y∈U.

則稱f為p-凸函數.

為證明本文的一個結果,給出下面的定義.

定義4 對于 ?(a1,b1),(a2,b2)∈R2, 如果a1≤a2,且b1≤b2,稱(a1,b1)(a2,b2).對于f:R2→R, 如果

f(a1,b1)≥f(a2,b2), ?(a1,b1)(a2,b2),

則稱二元函數f是序減的．如果上式不等式反向,則稱二元函數f是序增的．

最近, Eken[11]研究了p-凸函數的Hermite-Hadamard不等式, 推廣了式(1).結果如下.

定理2[11]設f:[a,b]→R+是一個可積的p-凸函數.則

受文[9,11]的啟發(fā)，本節(jié)將定理2推廣到二元p-凸函數的情形.

下面，先給出一個引理．

引理1 設U?R2是一個p-凸集, 函數f:U→R且是一個二元p-凸函數,則

(i) 如果f關于第二變元是非增的，則對于固定的y0,F(x)=f(x,y0)是一元p-凸函數;

(ii) 如果f關于第一變元是非增的，則對于固定的x0,G(y)=f(x0,y)是一元p-凸函數.

證明證(i), (ii)類似可證．任取x1,x2,使得z1(x1,y0),z2(x2,y0)∈U,?t,s∈[0,1]且tp+sp=1,有

f(tz1+sz2)≤tf(z1)+sf(z2),

即

f(tx1+sx2,(s+t)y0)≤tf(x1,y0)+sf(x2,y0).

因為t+s≤tp+sp=1,而f關于第二變元是非增的，故

f(tx1+sx2,y0)≤f(tx1+sx2,(s+t)y0).

于是,由上兩式，得

F(tx1+sx2)≤tF(x1)+sF(x2).

結論成立.

性質1[11]對于a>0,[0,a)是一個p-凸集.

定義beta函數為

有關其性質, 參見文[12].

2 主要結果

定理3 設f:[a,b]×[c,d]→R+是一個可積的p-凸函數,如果f是序減的，則

A1f(a,c)+A2f(a,d)+A3f(b,c)+A4f(b,d)

(4)

其中b>a≥0,d>c≥0,且

證明先證明式(4)的左邊.因為f為二元p-凸函數, 故

(5)

因為

(6)

令t=a+b-x,則

(7)

故由式(5)～(7),得

(8)

又因為

(9)

令t=c+d-y,則

(10)

于是再由式(5), 及式(8)～(10)，得

下面，證明式(4)的右邊.作變量代換

于是

(11)

根據引理1, 有

(12)

將式(12)代入式(11), 得

(13)

再作變量代換

根據引理1,得

(14)

同理,有

(15)

將式(14)與(15)代入式(13), 得

定理4 設f:[a,b]×[c,d]→R+是一個可積的p-凸函數．令

則

(i) 如果f是一個二元序減函數,那么g是一個二元p-凸函數;

證明(i) 對?w1(t1,s1),w2(t2,s2)∈[0,1]×[0,1],λ,μ≥0且λp+μp=1.則有

(16)

其中

根據條件f是可積的p-凸函數, 且是序減的,以及λ+μ≤1,有

(17)

將式(17)代入式(16),得

g(λw1+μw2)≤λg(w1)+μg(w2).

(ii)令

于是

(18)

其中

應用p-凸函數的Hermite-Hadamard不等式(4)的左邊,可得

注3 定理4是文[11]中定理3.9的推廣.