阻尼系統(tǒng)的特征

田紅亮 鄭金華 方子帆 朱大林

（三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

將式（4）代入式（7）得

1 有阻尼多自由度系統(tǒng)對激勵(lì)的響應(yīng)

沖量為U（量綱是N·s）的脈沖力［1］為

物體動(dòng)量的增量等于它所受合外力的沖量

將式（4）代入式（7）得

當(dāng)t＞0＋時(shí)，脈沖力作用已結(jié)束，故t＞0＋時(shí)得

將式（11）和式（12）代入式（9）得

將式（15）代入式（13）得

二階常系數(shù)齊次微分方程（16）的特征方程［2］為

特征方程（17）的兩個(gè)根為

方程（16）的通解［2］為

P（t）在t＝τ的沖量為U＝P（τ）dτ，脈沖響應(yīng)為

＋＋kx＝P（t）在x0及下的響應(yīng)為

若y＝y(tǒng)1（x）＋iy2（x）是微分方程y″＋py′＋qy＝f1（x）＋if2（x）的解，則y1（x）與y2（x）分別是微分方程y″＋py′＋qy＝f1（x）與y″＋py′＋qy＝f2（x）的解，其中y1（x）、y2（x）、f1（x）、f2（x）都是x的實(shí)函數(shù).

由式（18）可得方程（41）特征方程的根r1，2＝－ζωn±iωd，故iω不是根.方程（41）具有形如以下特解［2］

則方程（40）的特解為

根據(jù)式（20）和式（53）可得方程（40）的通解為

將式（60）代入式（57）可得方程（40）的通解為

將式（51）代入式（50）可得方程（40）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

式中，φ＝［φe1φe2…φen］T為特征向量.

只有當(dāng)系統(tǒng)中存在無慣性自由度時(shí)，才會出現(xiàn)半正定的情況［3］.假設(shè)K為半正定實(shí)對稱矩陣，φTKφ≥0，M為正定實(shí)對稱矩陣［4］，φTMφ＞0.λ是非負(fù)數(shù).

將式（75）和式（73）代入式（63）得

方程（76）存在非零解（至少2組解）φ的條件是［5］

根據(jù)式（76）可得第i個(gè)特征向量φi滿足

當(dāng)是特征多項(xiàng)式的單根時(shí)，式（80）的n個(gè)方程中有一個(gè)且只有一個(gè)是不獨(dú)立的，不妨設(shè)最后一個(gè)方程不獨(dú)立，將它劃去，且將含有φi的某個(gè)元素（例如φen）的項(xiàng)全部移到等號右端，得

式（81）不同于文獻(xiàn)［1］.若方程組（81）左端的系數(shù)行列式不是零，則此方程組有且僅有唯一組解［5］，可以解出用φen表示的φe1，φe2，…，φe，n－1；否則應(yīng)將含φi的另一個(gè)元素（如φe，n－1）的項(xiàng)移到等號右端再解方程組.使計(jì)算簡單，讓φen＝1，第i階主振型為

根據(jù)式（73）可得第i階主振動(dòng)為

故方程（63）的通解［2］為

由式（76）得

若i≠j時(shí)，ωni≠ωnj，由式（94）得

當(dāng)j＝i，式（95）和式（96）分別為2個(gè)實(shí)二次型

將式（95）和式（97）代入式（102）得

將式（96）和式（98）代入式（104）得

由式（86）得

將式（101）代入式（106）得

將式（100）代入式（119）得

根據(jù)式（103）和式（113）得

根據(jù)式（105）、（120）和式（108）得

式（84）可改寫為

將式（95）和式（97）代入式（125）得

將式（101）代入式（124）得

將式（128）代入式（63）得

用正則振型矩陣作坐標(biāo)變換矩陣，式（128）成為

將式（133）代入式（63）得

將式（122）和式（123）代入式（135）得

將式（15）代入式（11）得

由式（62）可得方程（151）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

將式（152）代入式（124）得

將式（101）代入式（144）并考慮簡諧激振力得

2 傳遞函數(shù)與復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)

初始條件為零［6］，對式（139）作Laplace變換

根據(jù)式（157）得

式（162）不同于文獻(xiàn)［1］中的式（4.227）G（s）＝

將式（101）、（103）、（145）和式（105）代入式（164）得

將式（161）中的s用iω取代后，可得頻率特性［7］

對式（139）兩邊作Fourier變換［6］得

式（148）除以式（100）得

將φi＝［φ1iφ2i…φri…φni］T和＝［φ1iφ2i…φsi…φni］代入式（177）可得H（ω）的第r行第s列元素［5］

由式（42）與式（47）可得單自由度的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)

當(dāng)k＝1N／m，圖1示出單自由度復(fù)頻響應(yīng)函數(shù).

圖1 單自由度系統(tǒng)的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)

3 工程實(shí)例與結(jié)果分析

3.1 固有頻率相差較大時(shí)的情況

圖2中m＝1kg，其單位符號kg不同于文獻(xiàn)［8］中的 Kg，k＝987N／m，k′＝217N／m，c＝0.628 4N·s／m，c′＝0.062 8N·s／m，P1（t）＝P01sinωt.

圖2 有阻尼兩自由度系統(tǒng)

代入式（76）得

＝987（rad／s）2，ωn1＝31.42rad／s，fn1＝＝6Hz.fn2比fn1大20%.由式（108）和式（101）得

由式（103）和式（143）得

由式（110）和式（148）得

設(shè)方程（185）具有形如以下特解

將式（179）代入式（187）得

將式（188）代入式（186）得

故方程（184）的特解為

式（190）與式（156）相同.將式（187）展開得

由式（178）得

圖3示出有阻尼二自由度系統(tǒng)復(fù)頻響應(yīng)函數(shù).

圖3 固有頻率相差大時(shí)二自由度系統(tǒng)的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)

3.2 固有頻率差距較小時(shí)的情形

將第3.1節(jié)中的兩個(gè)參數(shù)改變?yōu)椋簁′＝10N／m，c′＝0.003 1N·s／m，其它參數(shù)不變.

ω2n1＝987（rad／s）2，ωn1＝31.42rad／s，fn1＝5Hz，ω2n2＝100 7（rad／s）2，ωn2＝31.73rad／s，fn2＝5.05Hz.fn2比fn1僅大1%，相當(dāng)接近.由式（108）和式（101）得

由式（103）和式（143）得

由式（110）和式（148）得

由式（178）得

式（192）不同于文獻(xiàn)［1］的下面具體數(shù)據(jù)

圖4示出有阻尼二自由度系統(tǒng)復(fù)頻響應(yīng)函數(shù).

圖4 固有頻率偏差小時(shí)二自由度系統(tǒng)的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)

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