因子von Neumann代數(shù)上非線性*-Lie導(dǎo)子的刻畫

龐永鋒, 張丹莉, 馬 棟

(西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院, 西安 710055)

0 引 言

a(λb+μc)=λ(ab)+μ(ac), (λb+μc)a=λ(ba)+μ(ca), ?a,b,c∈A,λ,μ∈F,

則稱該映射是A上的一個乘法， 稱A是一個可結(jié)合代數(shù). 如果Banach空間A上的乘法滿足: ?a,b∈A, ‖ab‖≤‖a‖‖b‖, 則稱A為一個Banach代數(shù).如果代數(shù)A上的映射A→A,aa*滿足

則稱該映射是A上的對合運算， 稱A是一個可結(jié)合*-代數(shù).如果Banach代數(shù)A上的對合運算滿足對于任何a∈A有‖a*a‖=‖a‖2, 則稱A是C*代數(shù).如果A是C*代數(shù)且單位元1滿足1*=1, 則稱A是含單位元的C*代數(shù)[4].

目前, 關(guān)于*-導(dǎo)子相關(guān)性質(zhì)的研究已引起廣泛關(guān)注.設(shè)A和B是兩個因子von Neumann代數(shù), Cui等[5]證明了非線性雙射Φ： A→B對任意的A,B∈A, 有Φ([A,B]*)=[Φ(A),Φ(B)]*當且僅當Φ是*-環(huán)同構(gòu); Li等[3]證明了非線性映射Φ： A→B對任意的A,B∈A, 有Φ(A·B)=Φ(A)·Φ(B)當且僅當Φ是*-環(huán)同構(gòu); Taghavi等[1]證明了因子von Neumann代數(shù)上的*-Jordan導(dǎo)子是可加*-導(dǎo)子; Yu等[2]證明了因子von Neumann代數(shù)上的*-Lie導(dǎo)子是可加*-導(dǎo)子; 張芳娟[6]證明了含單位元的C*代數(shù)上的可加的廣義*-Lie導(dǎo)子是一個保*的可加導(dǎo)子; 孔亮[7]證明了φ是因子von Neumann代數(shù)上的非線性*-Jordan導(dǎo)子當且僅當φ是非線性*-Jordan三重導(dǎo)子; Li等[8]證明了因子von Neumann代數(shù)上的非線性混合Lie三重映射是可加*-導(dǎo)子; Fu等[9]證明了無中心交換投影的von Neumann代數(shù)上的非線性斜Lie三重導(dǎo)子是*-導(dǎo)子.

設(shè)H是 F上的一個Hilbert空間,I表示H上的恒等算子, 0表示H上的零算子,B(H)表示H上所有有界線性算子構(gòu)成的代數(shù), M?B(H)是一個von Neumann代數(shù).M的換位子為M′={T∈B(H),TA=AT, ?A∈M}, M的中心為M∩M′, 記為Z(M).如果M的中心是平凡的, 即Z(M)=I, 則稱M是因子von Neumann代數(shù).因子von Neumann代數(shù)M是素的, 即?A,B∈M,AMB={0}A=0或B=0.

1 預(yù)備知識

設(shè)M是Hilbert空間H上維數(shù)大于1的因子von Neumann代數(shù),P1∈M是一個非平凡投影,P2=I-P1.記Mij=PiMPj,i,j=1,2.

定義1若φ: M→M滿足

則稱φ是M上的非線性*-Lie三重導(dǎo)子.

引理1[8]設(shè)A∈M, 若?B∈M有AB=BA*, 則A∈I.

引理2[5]設(shè)A∈M, 若?B∈M有AB=B*A, 則B=0.

引理3若φ: M→M是非線性*-Lie三重導(dǎo)子, 則:

1)φ(I)?I;

2) 若A*=A, 則φ(A)*=φ(A);

3)φ(I)?I;

4)Piφ(Pi)Pj=-Piφ(Pj)Pj, 1≤i≠j≤2;φ(Pi)=P1φ(Pi)P2+P2φ(Pi)P1,i=1,2.

證明： 根據(jù)φ的定義可得

φ(0)=φ(000-000*)=φ(0)00+0φ(0)0+00φ(0)-φ(0)00*-0φ(0)0*-00φ(0)*=0.

1) ?λ∈及?T∈M, 有

將式(1)和(2)相加, 可得φ(λI)T-Tφ(λI)*=0.由T的任意性及引理1可知,φ(λI)∈I.由λ的任意性可得φ(I)?I.

2) 由φ(I)∈I, 則Aφ(I)=φ(I)A.由A*=A, 則

因此φ(A)*=φ(A).

3) 由φ(I)∈I, 則Bφ(I)=φ(I)B.?λ∈,B∈M且B*=B, 有φ(B)*=φ(B), 且

故Aφ(λI)=φ(λI)A.由A的任意性可得,φ(λI)∈M∩M′=I.由λ的任意性, 則φ(I)?I.

將式(3)左乘P1可得P1φ(P1)P2+P1φ(P2)P2=0, 即P1φ(P1)P2=-P1φ(P2)P2.將式(3)右乘P1可得P2φ(P2)P1+P2φ(P1)P1=0, 即P2φ(P2)P1=-P2φ(P1)P1.

對任意的A12∈M12, 有

將式(4)左乘P1、右乘P2可得P1φ(P1)A12P2=0.由A12的任意性及M的素性可得P1φ(P1)P1=0.由φ(0)=0, 有

化簡式(5)可得

P2φ(P1)A21=A21φ(P1)P2+A21P1φ(P2).

(6)

將式(6)右乘P2可得

0=A21φ(P1)P2+A21P1φ(P2)P2=P2A21(φ(P1)P2+P1φ(P2)P2).

由A21的任意性及M的素性可得

φ(P1)P2+P1φ(P2)P2=0.

(7)

將式(7)左乘P2可得P2φ(P1)P2=0, 故φ(P1)=P1φ(P1)P2+P2φ(P1)P1.

同理可得

化簡式(8)可得

P1φ(P2)A12=A12φ(P2)P1+A12P2φ(P1).

(9)

將式(9)右乘P1可得

0=A12φ(P2)P1+A12P2φ(P1)P1.

由A21的任意性及M的素性可得

φ(P2)P1+P2φ(P1)P1=0.

(10)

將式(10)左乘P1可得P1φ(P2)P1=0.

對任意的A21∈M21, 有

將式(7)左乘P2、右乘P1可得P2φ(P2)A21P1=0.由A21的任意性及M的素性可得P2φ(P2)P2=0.故φ(P2)=P1φ(P2)P2+P2φ(P2)P1.

設(shè)T=P1φ(P1)P2-P2φ(P1)P1,A∈M, 定義映射Φ: M→M為Φ(A)=φ(A)-[A,T], 其中[A,T]=AT-TA.

引理4映射Φ是M上的一個非線性*-Lie三重導(dǎo)子.

證明： ?A,B,C∈M, 有

因此Φ是M上的非線性*-Lie三重導(dǎo)子.

引理5設(shè)Φ是M上的一個非線性*-Lie三重導(dǎo)子, 則Φ(P1)=0,Φ(P2)=0.

證明： 由引理3中4)可得,

引理6設(shè)Φ是M上的一個非線性*-Lie三重導(dǎo)子, 則Φ(Mij)?Mij,i,j=1,2.

證明： 設(shè)Aij∈Mij, 1≤i≠j≤2, 則

將式(12)左右同乘Pi可得PiΦ(Aij)Pi=0.由Pi=I-Pj及式(12)可得,

將式(13)左右同乘Pj可得PjΦ(Aij)Pj=0.類似地, 有

將式(14)左乘Pj可得PjΦ(Aij)Pi=0.因此Φ(Aij)=PiΦ(Aij)Pj∈Mij.

設(shè)Aii∈Mii,i=1,2且k≠i, 則有

將式(15)左乘Pi可得PiΦ(Aii)Pk=0; 將式(15)右乘Pi可得PkΦ(Aii)Pi=0.

對任意的Bik∈Mik(1≤k≠i≤2), 由Φ(Bik)∈Mik, 則

將式(16)左乘Pi可得PiBik(PkΦ(Aii)Pk)=0.由M的素性可得PkΦ(Aii)Pk=0.因此Φ(Aii)=PiΦ(Aii)Pi∈Mii.綜上可得Φ(Aij)∈Mij, 故Φ(Mij)?Mij.

引理7設(shè)Φ是M上的一個非線性*-Lie三重導(dǎo)子, ?A11∈M11及?A12∈M12, 則P1Φ(A11+A12)P2=Φ(A12).

證明： ?A12∈M12, 由引理4和引理6可得,

將式(17)左乘P1、右乘P2可得

P1Φ(A11+A12)P2=P1Φ(A12)P2=Φ(A12).

引理8設(shè)Φ是M上的一個非線性*-Lie三重導(dǎo)子, 則Φ(I)?I且Φ(I)=0.

證明： ?λ∈, 由引理3中1)及Φ的定義可得,

Φ(λI)=φ(λI)-[λI,T]=φ(λI)∈I.

由λ的任意性可得Φ(I)?I.因此?α∈, 使得Φ(I)=αI.

?A12∈M12, 由引理5可得,

將式(18)左乘P1、右乘P2, 由引理6和引理7可得,

Φ(A12)=P1Φ(A12)P2=αP1A12P2+P1Φ(A11+A12)P2=αA12+Φ(A12).

(19)

對式(19)化簡可得αA12=0, 由A12的任意性可得α=0, 即Φ(I)=0.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)M是復(fù)Hilbert空間H上的因子von Neumann代數(shù), 且dim M >1.如果Φ: M→M是一個非線性*-Lie三重導(dǎo)子, 則Φ是非線性*-Lie導(dǎo)子.

證明： 由引理8及Φ的定義可得,

因此Φ是一個非線性*-Lie導(dǎo)子.

注意到上述條件實際上是一個充要條件.由文獻[5]中定理2.1, 當Φ是非線性*-Lie導(dǎo)子時, 則Φ是可加*-導(dǎo)子.因此Φ是非線性*-Lie三重導(dǎo)子.