可換環(huán)上嚴(yán)格上三角矩陣?yán)畲鷶?shù)的擬導(dǎo)子

關(guān)琦，卞洪亞，陳炳凱

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇徐州 221008）

可換環(huán)上嚴(yán)格上三角矩陣?yán)畲鷶?shù)的擬導(dǎo)子

關(guān)琦，卞洪亞，陳炳凱

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇徐州 221008）

設(shè)R是含幺可換環(huán),Nn(R)表示R上的所有n×n嚴(yán)格上三角矩陣組成的李代數(shù),對(duì)Nn(R)上的一個(gè)線(xiàn)性變換φ,若存在Nn(R)上的一個(gè)線(xiàn)性變換φˉ,對(duì)任意的x,y∈Nn(R)都有[φ(x),y]+[x,φ(y)]=φˉ([x,y]),則稱(chēng)φ為Nn(R)上的擬導(dǎo)子.本文定出了Nn(R)上的任一擬導(dǎo)子的具體形式,并對(duì)導(dǎo)子的概念進(jìn)行了推廣.

嚴(yán)格上三角矩陣；導(dǎo)子；擬導(dǎo)子；可換環(huán)

0 引言

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者研究代數(shù)系統(tǒng)上的導(dǎo)子，Jφndrup[1]決定了上三角矩陣環(huán)的導(dǎo)子.王登銀等[2-3]刻畫(huà)了可換環(huán)上上三角矩陣?yán)畲鷶?shù)的導(dǎo)子和一般線(xiàn)性李代數(shù)的拋物子代數(shù)的導(dǎo)子.偶世坤[4]給出了可換上嚴(yán)格上三角矩陣?yán)畲鷶?shù)的導(dǎo)子.Larson[5]將導(dǎo)子的概念加以推廣，定義了局部導(dǎo)子的概念.很多學(xué)者開(kāi)始研究局部導(dǎo)子[6，7].最近，Leger和Luks[8]也將導(dǎo)子的概念加以推廣，提出了李代數(shù)的擬導(dǎo)子的概念.設(shè)L為李代數(shù)，φ∈Hom(L,L)，若存在φˉ∈Hom(L,L)，對(duì)任意的x,y∈L都有

則稱(chēng)φ為L(zhǎng)上的擬導(dǎo)子，我們將Tn(R)上所有的線(xiàn)性變換的集合記為gl(L)，所有的擬導(dǎo)子的集合記為QDer (L)，所有的導(dǎo)子的集合記為QDer(L)，所有內(nèi)導(dǎo)子的集合記為ad(L).因此我們得到以下包含關(guān)系：

由以上包含關(guān)系可知，L上的導(dǎo)子一定為L(zhǎng)上的擬導(dǎo)子，可見(jiàn)擬導(dǎo)子是對(duì)導(dǎo)子概念的推廣.但反過(guò)來(lái)，L上的擬導(dǎo)子是導(dǎo)子嗎？以下的例子給出了否定的答案.

例1純量變換.設(shè)a∈R，考慮映射φ:Nn(R)→Nn(R),x?x;取φˉ:Nn(R)→Nn(R),x?2x，則由擬導(dǎo)子的定義易知φ是一個(gè)擬導(dǎo)子，但它不是一個(gè)導(dǎo)子.

例2設(shè)a∈R，考慮映射:

1 Nn(R)的標(biāo)準(zhǔn)擬導(dǎo)子

通過(guò)驗(yàn)證這是Nn() R的擬導(dǎo)子，我們稱(chēng)它為可擴(kuò)的擬導(dǎo)子，當(dāng)且僅當(dāng)f=0時(shí)λf是導(dǎo)子.

利用上面定義的這些標(biāo)準(zhǔn)的擬導(dǎo)子，我們來(lái)刻畫(huà)Nn() R上的擬導(dǎo)子，下面給出本文的主要定理.

定理1.1設(shè)φ是Nn(R)上的線(xiàn)性變換，則φ是Nn(R)上的擬導(dǎo)子，當(dāng)且僅當(dāng)

2 引理及定理的證明

考慮⑵式左邊第i+1列元可知φ(E1j)第i列元除(1,i)位置外均為0，所以

[1]JφndrupS.Automorphisms and derivations of upper triangular matrix ring[J].Linear Algebra Appl，1995，221:205-218.

[2]Wang Dengyin，Yu Qiu，Ou Shikun.Derivations of certain Lie algebras of upper triangular matrices over commutative rings[J]. Journal of Mathematical Research and Exposition，2007，27（3）:474-478.

[3]Wang Dengyin，Yu Qiu.Derivations of the parabolic subalgebras of the general linear Lie algebra over commutative ring[J].Linear Algebra Appl，2006，418:763-774.

[4]Ou Shikun，Wang Dengyin，Yao Ruiping.Derivations of the Lie algebra of strictly upper triangular matrices over a commutative ring [J].Linear Algebra App，2007，424:378-383.

[5]Larson D R，Sourour A R.Local derivations and local automophisms of B（H）[J].Proc Sympos Pure Math，1990，51:187-194.

[6]Kadison R.Local derivations[J].J Algebral，1990，130:494-509.

[7]Chrlst R.Local derivations on operator algebras[J].JFunct Anal，1996，135:76-92.

[8]Leger G F，Luks E M.Generalized derivations of Lie algebras[J].J Algebras，2000，228:165-203.

[9]陳清華，王登銀，周津名.可換環(huán)上嚴(yán)格上三角矩陣?yán)畲鷶?shù)上的BZ導(dǎo)子[J].數(shù)學(xué)雜志，2011，31：55-61．

Quasi-Derivations of the Lie Algebra of Strictly Upper Triangular Matrices over a Commutative Ring

GUAN Qi,BIAN Hong-ya,CHEN Bing-kai
(College of Sciences,China University of Mining and Technology,Xuzhou 221008,China)

LetRbe an arbitrary commutative ring with identity.Denoted byNn(R)the Lie algebra overRconsisting of all strictly upper triangularnbynmatrices.A linear transformationφonNn(R)is called a qusi-derivation of it if there exists a liner transformationφˉonNn(R)such that[φ(x),y]+[x,φ(y)]=φˉ([x,y])for?x,y∈Nn(R).In this paper,the authors characterize all quasi-derivations ofNn(R)and generalize the notions of derivations to a more general case.

strictly upper triangular matrices Lie algebra;derivation;quasi-derivation;commutative ring

O152

A

1008-2794（2011）10-0042-06

2011-08-15

關(guān)琦（1987—），女，安徽宿州人，中國(guó)礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院2009級(jí)碩士研究生，研究方向：代數(shù)及其應(yīng)用．