模糊蘊(yùn)涵下三角序和的一般形式

軒素玲, 周紅軍, 劉 妮

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 西安 710119)

模糊蘊(yùn)涵是模糊集理論中的一類主要邏輯連接詞, 在模糊數(shù)學(xué)的許多分支中具有重要作用, 如在模糊邏輯中作為蘊(yùn)涵連接詞的語義解釋[1-2], 在模糊形態(tài)學(xué)中用于構(gòu)造模糊侵蝕算子[3-4], 在圖像處理中用于構(gòu)造圖像之間的相似性度量[5], 在模糊粗糙集理論中構(gòu)造上下近似算子[6-7], 在形式概念分析中導(dǎo)出Galois連接[8-9]等.模糊蘊(yùn)涵的廣泛應(yīng)用和不確定性知識表示及其邏輯推理對模糊蘊(yùn)涵模型的大量需求促進(jìn)了模糊蘊(yùn)涵的快速發(fā)展, 其中新型模糊蘊(yùn)涵模型的構(gòu)造及其刻畫是其中的研究熱點(diǎn)之一.根據(jù)不同的構(gòu)造方法, 模糊蘊(yùn)涵主要分為五類: (S,N)-蘊(yùn)涵、R-蘊(yùn)涵、QL-蘊(yùn)涵、Yager蘊(yùn)涵以及序和模糊蘊(yùn)涵[10-24].本文考慮模糊蘊(yùn)涵的序和構(gòu)造.文獻(xiàn)[18]給出的序和模糊蘊(yùn)涵分別借助IGD(G?del蘊(yùn)涵)或IRS(Rescher蘊(yùn)涵)作為單位正方形區(qū)域中給定子方形的下三角上的給定一族模糊蘊(yùn)涵的線性變換的補(bǔ)蘊(yùn)涵而構(gòu)造的.本文研究一般模糊蘊(yùn)涵作為給定一族模糊蘊(yùn)涵的線性變換的補(bǔ)蘊(yùn)涵的充要條件, 并將現(xiàn)有的各類下三角上的序和蘊(yùn)涵納入到統(tǒng)一框架中, 進(jìn)而給出模糊蘊(yùn)涵下三角序和構(gòu)造的一般形式.

1 預(yù)備知識

定義1[25]若對任意的x,y,z∈[0,1],I滿足下列條件:

1) 當(dāng)x≤y時(shí),I(y,z)≤I(x,z);

2) 當(dāng)y≤z時(shí),I(x,y)≤I(x,z);

3)I(0,0)=1;

4)I(1,1)=1;

5)I(1,0)=0.

則稱二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]為模糊蘊(yùn)涵.

推論1[25]由定義1知, 任一模糊蘊(yùn)涵I滿足下列性質(zhì), 分別稱為左邊界條件和右邊界條件:

(LB)I(0,y)=1,y∈[0,1];

(RB)I(x,1)=1,x∈[0,1].

例1[1]如下定義的二元函數(shù)I0,I1分別是點(diǎn)式序下最小與最大的模糊蘊(yùn)涵:

表1列出了其他幾種常見的模糊蘊(yùn)涵.

表1 常用的模糊蘊(yùn)涵

定義2[25-27]設(shè)I是模糊蘊(yùn)涵.

1) 若對任意的y∈[0,1],I(1,y)=y, 則稱I滿足左單位元性質(zhì)(簡稱(NP));

2) 若對任意的x,y∈[0,1],I(x,I(y,z))=I(y,I(x,z)), 則稱I滿足置換性質(zhì)(簡稱(EP));

3) 若對任意的x∈[0,1],I(x,x)=1, 則稱I滿足恒等性(簡稱(IP));

4) 若對任意的x,y∈[0,1],I(x,y)=1當(dāng)且僅當(dāng)x≤y, 則稱I滿足序性質(zhì)(簡稱(OP));

7) 若對任意的x,y∈[0,1],I(x,y)≥y, 則稱I滿足后件邊界條件(簡稱(CB));

注1設(shè)I是模糊蘊(yùn)涵, 則下列性質(zhì)等價(jià)：

1)I滿足(CB);

2)I滿足(CB′), 即?y∈[0,1],I(1,y)≥y.

例2[23]定義二元函數(shù)Ic: [0,1]2→[0,1]為

其中c∈[0,1].易驗(yàn)證Ic是模糊蘊(yùn)涵; 當(dāng)c=0時(shí),I0=IRS; 當(dāng)c=1時(shí),I1=IGD.

下面介紹文獻(xiàn)[13,18]中給出的幾種下三角序和蘊(yùn)涵, 其中|aα,bα|表示區(qū)間(aα,bα),(aα,bα],[aα,bα),[aα,bα]中的任意一個.關(guān)于模糊蘊(yùn)涵的其他序和構(gòu)造方法可參見文獻(xiàn)[23].

定理1[13]設(shè){Iα}α∈A是一族模糊蘊(yùn)涵, {[aα,bα]}α∈A是[0,1]的一族互不相交的閉子區(qū)間,aα

1) 按下式定義的二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]是模糊蘊(yùn)涵:

(1)

2) 按下式定義的二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]是模糊蘊(yùn)涵:

(2)

定理2[18]設(shè){Iα}α∈A是一族模糊蘊(yùn)涵, {|aα,bα|}α∈A是[0,1]的一族互不相交的子區(qū)間, 且aα

1) 按下式定義的二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]是模糊蘊(yùn)涵的當(dāng)且僅當(dāng)1?|aα,bα|,α∈A時(shí),Iα滿足(CB):

(3)

2) 按下式定義的二元函數(shù)I: [0,1]2→[0,1]是模糊蘊(yùn)涵:

(4)

2 主要結(jié)果

定義3設(shè)I*是任一模糊蘊(yùn)涵, {Iα}α∈A是一族模糊蘊(yùn)涵, {[aα,bα]}α∈A是(0,1)的一族互不相交的閉子區(qū)間, {[cα,dα]}α∈A是[0,1]一族閉子區(qū)間, 且aα

(5)

稱I是{Iα}α∈A的序和, 記I=(〈[aα,bα],cα,dα,Iα〉,≥,I*)α∈A.

定理3式(5)定義的二元函數(shù)I是模糊蘊(yùn)涵當(dāng)且僅當(dāng)I*滿足下列條件：

證明: 必要性.假設(shè)I是一個模糊蘊(yùn)涵,α∈A.

1) ?y∈[aα,bα]及?x

因此I*滿足條件1).

同理可證I*滿足條件2)～4).

充分性.假設(shè)I*滿足條件1)～4), 則需證明I滿足定義1中條件1)～5).

① 設(shè)x1,x2,y∈[0,1]且x1

(i) 若?α∈A,y?[aα,bα], 由I*的單調(diào)性可得,I(x1,y)=I*(x1,y)≥I*(x2,y)=I(x2,y).

(ii) 若?α∈A, 使得y∈[aα,bα], 則需討論以下4種情形：

若x1

I(x1,y)=I*(x1,y)≥I*(x2,y)=I(x2,y);

若x1

若y≤x1≤bα

若y≤x1

因此I滿足定義1中條件1).

② 設(shè)x,y1,y2∈[0,1]且y1

(i) 若?α∈A,x?[aα,bα], 則由I*的單調(diào)性可得,I(x,y1)=I*(x,y1)≤I*(x,y2)=I(x,y2).

(ii) 若?α∈A, 使得x∈[aα,bα], 則需討論以下4種情形.

若x

I(x,y1)=I*(x,y1)≤I*(x,y2)=I(x,y2);

若aα≤y1

若aα≤y1≤x

若y1

因此I滿足定義1中條件2).

根據(jù)定義3, 顯然有I(0,0)=I*(0,0)=1,I(1,1)=I*(1,1)=1,I(1,0)=I*(1,0)=0, 即定義1中條件3)～5)成立.

綜上可證I是模糊蘊(yùn)涵.

則

圖1 例3中I的三維圖像Fig.1 Three dimensional image of I in example 3

易驗(yàn)證I*滿足定理3中的條件1)～4), 故可得I是模糊蘊(yùn)涵, 其三維圖像如圖1所示.

命題1設(shè){Iα}α∈A是一族模糊蘊(yùn)涵, {[aα,bα]}α∈A是(0,1) 的一族互不相交的閉子區(qū)間, {[cα,dα]}α∈A是[0,1]一族閉子區(qū)間, 且aα

1) 按下式定義的二元函數(shù)I*: [0,1]2→[0,1]是模糊蘊(yùn)涵當(dāng)且僅當(dāng)?α∈A,aα≤cα≤dα≤bα:

(6)

2) 按下式定義的二元函數(shù)I*: [0,1]2→[0,1]是模糊蘊(yùn)涵當(dāng)且僅當(dāng)?α∈A,aα≤cα≤dα≤bα：

(7)

定理4設(shè)I是式(5)定義的二元函數(shù), {[aα,bα]}α∈A是(0,1)的一族互不相交的閉子區(qū)間, {[cα,dα]}α∈A是[0,1]一族閉子區(qū)間, 且?α∈A,aα≤cα≤dα≤bα, 其中A是有限或可數(shù)指標(biāo)集.則有:

1) 若I*是式(6)所表示的模糊蘊(yùn)涵, 則I=(〈[aα,bα],cα,dα,Iα〉,≥,I*)α∈A是模糊蘊(yùn)涵, 即

(8)

2) 若I*是式(7)所表示的模糊蘊(yùn)涵, 則I=(〈[aα,bα],cα,dα,Iα〉,≥,I*)α∈A是模糊蘊(yùn)涵, 即

(9)

式(8)和式(9)的結(jié)構(gòu)如圖2所示.

圖2 式(8)和式(9)的結(jié)構(gòu)Fig.2 Structures of formulas (8) and (9)

定理5設(shè)I是式(8)定義的二元函數(shù).若I是模糊蘊(yùn)涵, 則:

1)I不滿足(IP);

2)I既不滿足(LOP)也不滿足(OP);

3)I滿足(SBC);

4)I不滿足(SCC0);

5)I滿足(SCC1).

推論2設(shè)I是式(8)定義的二元函數(shù).若aα=cα,bα=dα, 則:

1)I不滿足(IP);

2)I即不滿足(LOP)也不滿足(OP);

3)I滿足(SBC);

4)I不滿足(SCC0);

5)I滿足(SCC1);

6)I滿足(NP)當(dāng)且僅當(dāng)?α∈A,Iα滿足(NP);

7)I滿足(CB)當(dāng)且僅當(dāng)?α∈A,Iα滿足(CB).

證明: 這里只給出6)的證明, 其他類似.

由式(8)可得?y∈[0,1],

定理6設(shè)I是式(9)定義的二元函數(shù).若I是模糊蘊(yùn)涵, 則:

1)I不滿足(IP);

2)I即不滿足(LOP)也不滿足(OP);

3)I滿足(SBC);

4)I不滿足(SCC0);

5)I滿足(SCC1);

6)I不滿足(NP);

7)I不滿足(CB).

證明: 這里只給出6)的證明, 其他類似.

在證明定理3 的充分性時(shí)表明, 在子方形[aα,bα]對角線上的取值既可以按照Iα的線性變換取值, 也可以按照I*取值, 不影響其結(jié)果.下面按照I*取值, 并把{[aα,bα]}α∈A是(0,1)的一族互不相交的閉子區(qū)間修改為{[aα,bα]}α∈A是[0,1]的一族互不相交的閉子區(qū)間, 記此序和為

I=(〈[aα,bα],cα,dα,Iα〉,>,I*)α∈A.

推論3設(shè){Iα}α∈A是一族模糊蘊(yùn)涵, {[aα,bα]}α∈A和{[cα,dα]}α∈A是[0,1]的一族互不相交的閉子區(qū)間, 且當(dāng)aα=0時(shí)cα=0, 當(dāng)bα=1時(shí)dα=1,α∈A, 其中A是有限或可數(shù)指標(biāo)集.則有:

1) 若I*是式(6)所表示的模糊蘊(yùn)涵, 則I=(〈[aα,bα],cα,dα,Iα〉,>,I*)α∈A是模糊蘊(yùn)涵, 其中

(10)

2) 若I*是式(7)所表示的模糊蘊(yùn)涵, 則I=(〈[aα,bα],cα,dα,Iα〉,>,I*)α∈A是模糊蘊(yùn)涵, 其中

(11)

注21) 若推論3中1)的I*滿足(LOP)且cα=aα,dα=bα, 則推論3中1)退化為定理1中1).

2) 若推論3)中2)的I*滿足(LOP)且cα=aα,dα=bα, 則推論3中2)退化為定理1中2).

下面進(jìn)一步將式(5)中的閉區(qū)間[aα,bα]放寬為|aα,bα|, 給出相應(yīng)序和是模糊蘊(yùn)涵的充分條件, 這些結(jié)果將推廣定理2.由于證明與前面類似, 因此這里僅列舉相應(yīng)結(jié)論, 不再證明.

定理7設(shè)I*是任一模糊蘊(yùn)涵, {Iα}α∈A是一族模糊蘊(yùn)涵, {|aα,bα|}α∈A是[0,1]的一族互不相交的子區(qū)間, {[cα,dα]}α∈A是[0,1]一族閉子區(qū)間, 且aα,I*)α∈A, 即

(12)

若I*滿足下列條件, 則I是模糊蘊(yùn)涵:

顯然IRS滿足定理7中條件1)～4), 故可得I是模糊蘊(yùn)涵, 其三維圖像如圖3所示.

則

易驗(yàn)證I*滿足定理7中條件1)～4), 故可得I是模糊蘊(yùn)涵, 其三維圖像如圖4所示.

圖3 例4中1)的I三維圖像Fig.3 Three dimensional image of I in 1) of example 4

圖4 例4中2)的I三維圖像Fig.4 Three dimensional image of I in 2) of example 4

推論4設(shè)I*是任一模糊蘊(yùn)涵, (Iα)α∈A是一族模糊蘊(yùn)涵, {|aα,bα|}α∈A是[0,1]的一個互不相交的子區(qū)間族, {[cα,dα]}α∈A是[0,1]一族子區(qū)間,aα,I*)α∈A=(〈|aα,bα|,cα,dα,Iα〉,>,I*)α∈A, 即

(13)

若I*滿足下列條件, 則I是模糊蘊(yùn)涵：

顯然IRS滿足推論4中條件1)～4), 故可得I是模糊蘊(yùn)涵, 其三維圖像如圖5所示.

則

易驗(yàn)證I*滿足推論4中條件1)～4), 故可得I是模糊蘊(yùn)涵, 其三維圖像如圖6所示.

圖5 例5中1)的I三維圖像Fig.5 Three dimensional image of I in 1) of example 5

圖6 例5中2)的I三維圖像Fig.6 Three dimensional image of I in 2) of example 5

命題2I是式(12)表示的二元函數(shù), 其中I*=Ic.若?α∈A及?y∈|aα,bα|均有cy≤cα, 則I是模糊蘊(yùn)涵.

證明: 由定理7可知, 只需驗(yàn)證Ic滿足定理7中條件1)～4)即可.首先證明Ic滿足定理7中條件1), 若(x,y)∈[bα,1]×|aα,bα|,α∈A, 則

因此Ic滿足定理7中條件1).同理可證Ic滿足定理7中條件2)～4).故可得I是模糊蘊(yùn)涵.

易驗(yàn)證I滿足命題2, 故可得I是模糊蘊(yùn)涵, 其三維圖像如圖7所示.

推論5設(shè)I是式(13)表示的二元函數(shù),I*=Ic, 則有:

1) 若?α∈A及?y∈|aα,bα|有cy≤aα, 則I是模糊蘊(yùn)涵；

2) ?α∈A, 若當(dāng)1?|aα,bα|時(shí)Iα滿足(CB), 則I是模糊蘊(yùn)涵.

易驗(yàn)證I1/2滿足推論5中1), 故可得I是模糊蘊(yùn)涵, 其三維圖像如圖8所示.

圖7 例6中I的三維圖像Fig.7 Three dimensional image of I in example 6

圖8 例7中1)的I三維圖像Fig.8 Three dimensional image of I in 1) of example 7

易驗(yàn)證I4/5滿足推論5中2), 故可得I是模糊蘊(yùn)涵, 其三維圖像如圖9所示.

圖9 例7中3)的I三維圖像Fig.9 Three dimensional image of I in 3) of example 7

注31)I是式(12)定義的二元函數(shù), 其中I*=Ic, 則有以下兩個結(jié)論：

① 若c=0, 則

由命題2可知I是模糊蘊(yùn)涵.

② 若c=1, 則

由命題2可知, 若?α∈A,bα≤cα, 則I是模糊蘊(yùn)涵.

2) 設(shè)I是式(13)定義的二元函數(shù),I*=Ic, 則有以下兩個結(jié)論:

① 若c=0, 則

I是模糊蘊(yùn)涵, 則推論5中1)即退化為定理2中2).

② 若c=1, 則

?α∈A, 若當(dāng)bα<1時(shí)Iα滿足(CB), 則I是模糊蘊(yùn)涵, 反之也成立, 即定理2中1).

綜上所述， 本文研究了一般模糊蘊(yùn)涵作為單位正方形中給定子方形的下三角上給定一族模糊蘊(yùn)涵線性變換補(bǔ)蘊(yùn)涵的充要條件, 將已有的各類下三角序和蘊(yùn)涵歸納到統(tǒng)一框架中, 并給出了模糊蘊(yùn)涵下三角序和構(gòu)造的一般形式.本文的序和構(gòu)造方法從線性變換角度進(jìn)一步推廣了文獻(xiàn)[21]中提出的第一種序和構(gòu)造方法.