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    非自治系統(tǒng)關于部分變元的強穩(wěn)定性*

    2015-12-31 09:09:36
    濰坊學院學報 2015年2期
    關鍵詞:零解變元學報

    劉 丹

    (山東科技大學,山東 青島 266590)

    1 引言與定義

    Liapunov直接法是研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個強有力的方法,在一個系統(tǒng)中存在許多的變元,但往往一部分變元的性質我們掌握不了,或者不需要研究和證明。這就引出了強穩(wěn)定性的概念,如文獻[1-3]提出了關于部分變元的強穩(wěn)定性的概念,但關于部分變元的強穩(wěn)定性的判定定理還不夠豐富。文中將文獻[4-8]中驗證部分變元穩(wěn)定性方法改進,得到了一些關于部分變元的強穩(wěn)定的判定定理。

    考慮n維非自治系統(tǒng)

    其中x∈Rn,f(t,x)∈C[I×Ω,Rn],I=[0,+∞),Ω 為開區(qū)域,f(t,0)≡0。記

    假設當Ω={x∶‖y‖≤H,‖z‖≤+∞}時,(1)的解唯一且可延拓到I上。

    定義1[1]稱(1)的平凡解關于部分變元z對y 強穩(wěn)定,如果對于任何ε>0和t0∈I,存在δ(ε,t0)>0,使得當x0滿足‖y0‖≤δ(ε)時,對一切t≥t0,有‖z(t,t0,x0)‖≤ε。

    定義2[1]稱(1)的平凡解關于部分變元z對y 強一致穩(wěn)定,如果對于任何ε>0,存在δ(ε)>0,使得當x0滿足‖y0‖≤δ(ε,t0)時,對一切t0∈I,當t≥t0時有‖z(t,t0,x0)‖≤ε。

    定義3[3]稱(1)的平凡解關于部分變元z對y 強吸引的,如果對于任意ε>0及t0∈I,存在δ(t0)>0,使得當x0滿足‖y0‖≤δ時,存在T(ε,t0,x0)>0,當t≥t0+T(ε,t0,x0)時有‖z(t,t0,x0)‖≤ε,即z(t,t0,x0)=0。

    定義4[3]稱(1)的平凡解關于部分變元z對y 強漸近穩(wěn)定的,若(1)的平凡解關于部分變元z對y 是強穩(wěn)定的且z對y 是強吸引的。

    定義5[1]對于連續(xù)函數(shù)V(t,x)=V(t,y,z),若有V(t,0,z)≡0,則稱V(t,x)為推廣的Liapunov函數(shù)或y-V 函數(shù)。

    2 判定定理

    定理1 存在y-V 函數(shù)V(t,x)及連續(xù)函數(shù)列{Un(t,x)}滿足

    (1)Un(t,x)≥a‖z‖,a∈K,Un(t,0)=0

    下面證明對一切t≥t0均有Un(t,x(t,t0,y0,z0))<αN。

    若Un(t,x(t,t0,y0,z0))<αN不成立,故可找到t1≥t0,使得

    于是

    這與(6)式矛盾。從而

    故對一切的t≥t0,有‖z(t,t0,x0)‖<ε。則系統(tǒng)(1)的零解關于部分變元z對y 強穩(wěn)定。

    定理2 若存在y-V 函數(shù)V(t,x)滿足

    (1)V(t,x)≥a(‖z‖)且|V(t,x)|≤b(‖z‖),其中a,b∈K。

    (2)D+V(t,x)≤0。則系統(tǒng)(1)的零解關于部分變元z對y 強一致穩(wěn)定。

    由(2)D+V(t,x)≤0,故

    從而‖z(t,t0,x0)‖<ε,則系統(tǒng)(1)的零解關于部分變元z對y 強穩(wěn)定。

    又因為|V(t,x)|≤b(‖z‖),取δ(ε)=b-1(a(ε))不依賴于t0,當‖y0‖<δ有

    從而對一切t≥t0,有‖z(t,t0,x0)‖<ε。故系統(tǒng)(1)的零解關于部分變元z對y 強一致穩(wěn)定。

    注:在定理2中去除|V(t,x)|≤b(‖z‖)條件后也是判定零解關于部分變元z 對y 強穩(wěn)定的一個方法。

    定理3 若存在y-V 函數(shù)V(t,x)滿足

    (1)有正定函數(shù)w(z),使得V(t,x)≥θ(t,x)w(z),V(t,0)=0。

    證明 由條件(1)知由于w(z)是正定函數(shù),故存在φ∈K,使得w(z)≥φ(‖z‖),故

    從而‖z(t,t0,x0)‖<ε。即系統(tǒng)(1)零解關于部變元z對y 強穩(wěn)定。

    對任意的的ε1>0,存在T(ε1,t0,x0)>0,當t≥t0+T 時

    即系統(tǒng)(1)零解關于部分變元z對y 強吸引。

    綜之,系統(tǒng)(1)零解關于部分變元z對y 強漸近穩(wěn)定。

    作者衷心感謝馮濱魯教授對本文的指導、審閱。

    [1]周康.關于部分變元的強穩(wěn)定性的基本定理[J].華中師范大學學報:自然科學版,1995,29(1):24-26.

    [2]張維.微分系統(tǒng)關于部分變元的強穩(wěn)定性[J].華中師范大學學報:自然科學版,1992,26(4):408-412.

    [3]孟新柱.部分變元的強穩(wěn)定性研究[J].山東科技大學學報:自然科學版,2002,21(3):18-20.

    [4]廖曉昕.穩(wěn)定性的數(shù)學理論與應用[M].武漢:華中師范大學出版社,1988.

    [5]馮濱魯.兩類非線性系統(tǒng)的不穩(wěn)定性[J].山東礦業(yè)學院學報,1992,11(2):200-203.

    [6]馮濱魯,王向榮,王朝陽.關于部分變元全局漸近穩(wěn)定性的新判據(jù)[J].山東礦業(yè)學院學報,1994,13(2):191-195.

    [7]么秉春,趙文凱.關于擾動方程的零解對部分變元的穩(wěn)定性[J].河北輕化工學院學報,1993,14(4):29-34.

    [8]舒仲周,謝建華.Liapunov穩(wěn)定定理的一個注記[J].西南交通大學學報,1988,23(2):38-44.

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