有關(guān)初等對稱函數(shù)的一個(gè)廣泛定理

吳德昭 吳牮

【摘要】本文實(shí)質(zhì)性地推廣了文獻(xiàn)[4]中的一個(gè)結(jié)果，得到反映初等對稱函數(shù)凸性的一個(gè)一般性定理.

【關(guān)鍵詞】初等對稱函數(shù)；不等式；凸性

初等對稱函數(shù)與對稱平均的課題開啟于G.H.Hardy與J.E.Littlewood的名著[1].多年來，各國學(xué)者對初等對稱函數(shù)精細(xì)性質(zhì)的進(jìn)一步探討始終未停止過.早在20世紀(jì)50年代末期，M.Marcus、J.B.McLeod等就有過十分深入的研究[2]-[3].朱宗毅在文[4]中再度給出一個(gè)新穎的不等式，此不等式刻畫了初等對稱函數(shù)的凸性，筆者發(fā)現(xiàn)，此結(jié)果可以做一種實(shí)質(zhì)性推廣.

一個(gè)猜測：

若記

∑∞k=0T（k，s，n，a）xk=∏ni=1（1+aix）s，s>0，∏ni=1（1-aix）s，s<0，

其中T（k，s，n，a）與所謂的Whiteley平均值有關(guān)，文獻(xiàn)[5]指出，對于T（k，s，n，a）有類似于（7）式的不等式

[T（k，s，n，a+b）]1k≥[T（k，s，n，a）]1k+[T（k，s，n，b）]1k（s>0）.（8）

我們猜測，（8）式也可以做類似（6）式的非平凡拓廣，完成證明可能需要克服復(fù)雜的初等運(yùn)算帶來的困擾.

【參考文獻(xiàn)】

[1]哈代GH，李特伍德JE，波利亞G.不等式[M].北京：科學(xué)出版社，1965.

[2]Marcus M，Lopes L.Inequalities for Symmetric functions and Hermitian matrices[J].Canad.J.Math，1957（9）：305-312.

[3]McLeod J B.On four inequalities in symmetric functions[J].Proc.Edinburgh Math.Soc.1959（11）：211-219.

[4]朱宗毅.一個(gè)對稱不等式的證明及其加強(qiáng) [J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，1988（1）：51-53.

[5]Mitrinovic D S，Vasic P M.分析不等式[M].趙漢賓，譯.南寧：廣西人民出版社，1986.