構(gòu)造法在大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用

閆曉輝 王磊 姚玉武

【摘要】構(gòu)造法作為一種重要的解題方法，在數(shù)學(xué)學(xué)科中的應(yīng)用尤為突出.構(gòu)造法的本質(zhì)是依據(jù)題設(shè)條件與結(jié)論，抓住它們之間的內(nèi)在聯(lián)系以及問題的位置、數(shù)字、外形等特征，并用新的觀點對對象進(jìn)行觀察、分析和解釋，從而解決相應(yīng)的問題.本文通過分析、總結(jié)構(gòu)造法的基本思想，并通過應(yīng)用舉例，探究構(gòu)造法思想在大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用，充分體現(xiàn)了構(gòu)造法的靈活性及其巧妙之處.

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法；大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽；應(yīng)用

【基金項目】卓越人才教育培養(yǎng)計劃（編號：2016ZJJH053）；安徽省質(zhì)量工程重大教學(xué)改革研究項目（編號：2015ZDJY140）.

一、引言

構(gòu)造法是利用創(chuàng)造性解題的一種方法.構(gòu)造法思想具有悠久的歷史，可以說它從數(shù)學(xué)學(xué)科誕生的那天起就產(chǎn)生了，且隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展而不斷發(fā)展.歷史上有很多數(shù)學(xué)家都曾用構(gòu)造法解決過數(shù)學(xué)上的許多難題，如歐幾里得、高斯、拉格朗日等等，隨著構(gòu)造思想在解題中越來越多的應(yīng)用，人們也越發(fā)了解到構(gòu)造法的重要性，然而構(gòu)造法較難掌握，它不同于一般的邏輯方法，應(yīng)用于解題時并沒有一定的規(guī)律或原則可循，因此，對構(gòu)造法的理解、掌握以及靈活地應(yīng)用顯得尤為重要.

隨著社會的發(fā)展與科技的進(jìn)步，我國對人才的需求與日俱增，培養(yǎng)創(chuàng)新型人才更是重中之重.目前我國各大高校均已開展各種有助于提高創(chuàng)新性的競賽活動，其中“大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽”備受矚目，它不僅可以推動高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程的改革與建設(shè)，提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)水平，而且還可以激發(fā)大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)現(xiàn)及選拔數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才，這為國家的發(fā)展提供了不竭的動力.大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽作為一項競技類考試，要求學(xué)生具備一定的思維跳躍度，而在緊張的競賽氛圍中，面對高難度的試題，要想獲得高分，還需要及時準(zhǔn)確地選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，從而進(jìn)行快速高效解題.雖然構(gòu)造法沒有固定的方法步驟可循，但它在解題過程中卻發(fā)揮出了不可估量的作用.若參賽者能快速準(zhǔn)確地把握構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用，必定能得到事半功倍的效果.

二、構(gòu)造法的基本思想

在解題過程中，出于某種需要，要么把題設(shè)條件或結(jié)論中的關(guān)系構(gòu)造出來，要么構(gòu)造某個模型來體現(xiàn)其關(guān)系，抑或是將已知條件經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合而構(gòu)造出一種新形式來解決問題.因此，對于從不同角度的構(gòu)造，我們可將其分為三大類：直接構(gòu)造、變更條件構(gòu)造和變更結(jié)論構(gòu)造.在這種思維過程中，對已有的方法和知識采取分解、組合、推廣、變換、類比等手段進(jìn)行思維的再創(chuàng)造，構(gòu)造出新的式子、圖形或簡化的問題來幫助解題的思想，我們稱之為構(gòu)造法的思想.

構(gòu)造法的實質(zhì)是指當(dāng)用通常的方法、定式思維去解決某些數(shù)學(xué)問題很難奏效時，根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的性質(zhì)、特征，用新的觀點觀察、分析、解釋對象，抓住反映問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，把握問題的外形、數(shù)字、位置等特征，來解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.其步驟較直觀，靈活性大，關(guān)鍵在于借助對問題特征的敏銳觀察，展開豐富的聯(lián)想，實施正確的轉(zhuǎn)化.它的具體解題過程可用下面的框架來表示：

用新的觀點對題設(shè)條件、結(jié)論特征及其相互關(guān)系進(jìn)行分析

通過創(chuàng)造性思維構(gòu)造出相應(yīng)的模型或問題，從而化簡問題

通過對構(gòu)造出的問題或模型進(jìn)行推理演算得出結(jié)論

構(gòu)造法作為一種常用的數(shù)學(xué)解題方法，它雖然沒有具體可循的解題步驟，但它和其他方法一樣，本身具有獨特而又顯著的特征，如，解題步驟的直觀性、解題過程的構(gòu)造性、構(gòu)造方式的靈活性與可行性以及構(gòu)造思維的多樣性.

在大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中，構(gòu)造法不失為一種快速高效的解題法.對于具體的數(shù)學(xué)問題，我們經(jīng)常需要構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造區(qū)間套、構(gòu)造點列和子列、構(gòu)造開覆蓋等等來進(jìn)行解題.構(gòu)造函數(shù)方法包括直接觀察、移項構(gòu)造函數(shù)、湊導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)、利用不定積分構(gòu)造函數(shù)和利用常數(shù)值構(gòu)造函數(shù)等等.另外，我們根據(jù)實際情況往往需要構(gòu)造多項式、二次型、矩陣、行列式、變換與基等來解決代數(shù)問題.解析幾何的基本思想就是用代數(shù)的方法來研究和解決幾何問題，為了把代數(shù)運算運用到幾何中來，最根本的做法就是設(shè)法把空間的幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化與數(shù)量化，在將幾何代數(shù)化與數(shù)量化以及解決幾何問題的過程中，我們會用到很多數(shù)學(xué)思想方法，最常見的有數(shù)形結(jié)合、類比、構(gòu)造；構(gòu)造法包括構(gòu)造輔助函數(shù)、構(gòu)造方程、構(gòu)造向量、構(gòu)造平面束、做輔助線等等.構(gòu)造法思想在大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中能夠得到充分應(yīng)用，使得對問題的求解更為簡便.

三、應(yīng)用舉例

例1計算n階行列式

Dn=x-aaa…aax-aa…aaax-a…aaaa…x-a .

分析行列式的計算是高等代數(shù)的基礎(chǔ)，對于題中這類n階行列式，根據(jù)行列式的性質(zhì)，我們有很多方法去求解，如，三角形法、拆分法、加邊法、遞推法、構(gòu)造法、數(shù)學(xué)歸納法等等，求解方法的選取適當(dāng)會使得計算過程簡化、方便.

解（構(gòu)造輔助行列式法）在Dn的各元素上加（-a）后，則有

證明一設(shè)F（x）=f（x）sinx+f′（x）cosx，則F（x）在[-2，2]上可導(dǎo).

因為f2（0）+[f′（0）]2=4，|f（x）|≤1，

所以|F（0）|=|f′（0）|≥3>1，

又因為Fπ2=fπ2≤1，F(xiàn)-π2=f-π2≤1，故F（x）在-π2，π2上的最大值點或最小值點必有一個落在-π2，π2.設(shè)ξ∈-π2，π2為F（x）在-π2，π2上的一個最值點，則有F′（ξ）=[f（ξ）+f″（ξ）]cosξ=0.顯然cosξ≠0，于是f（ξ）+f″（ξ）=0.

證明二設(shè)F（x）=f2（x）+[f′（x）]2，則F（x）在[-2，2]上可導(dǎo)且F（0）=4.

應(yīng)用拉格朗日中值定理可知，存在ξ1∈（0，2），

使得f′（ξ1）=f（2）-f（0）2-0.

于是

|f′（ξ1）|=f（2）-f（0）2-0≤|f（2）|+|f（0）|2≤1，

同理存在ξ2∈（-2，0），使得|f′（ξ2）|≤1.由此F（ξ1），F(xiàn)（ξ2）≤2

從而F（x）在[ξ2，ξ1]上的最大值點ξ∈（ξ2，ξ1），即有

F′（ξ）=2f′（ξ）[f（ξ）+f″（ξ）]=0.

又因為[f′（ξ）]2=F（ξ）-f2（ξ）≥F（0）-1=3，

所以f′（ξ）≠0，于是f（ξ）+f″（ξ）=0.

注：構(gòu)造函數(shù)的方式不同，所構(gòu)造出的函數(shù)對于解題的作用也不一樣.證法一就巧妙地利用了三角函數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，并根據(jù)極值點的特性，非常簡單地證明了此題；證法二的函數(shù)構(gòu)造雖然比較自然，但是在最值點的討論過程中還要用到中值定理，難度較大.這便突顯出了構(gòu)造法的靈活性，體現(xiàn)了構(gòu)造法的美妙之處.

例3（第四屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽（非數(shù)學(xué)類））

試求通過直線L：2x+y-3z+2=0，5x+5y-4z+3=0 的兩個相互垂直的平面π1和π2的方程，要求使其中一個平面過點（4，-3，1）.

解構(gòu)造過直線L的平面束為λ（2x+y-3z+2）+μ（5x+5y-4z+3）=0，即（2λ+5μ）x+（λ+5μ）y-（3λ+4μ）z+（2λ+3μ）=0，

若平面π1過點（4，-3，1），代入得λ+μ=0，

即μ=-λ，從而平面π1的方程為

3x+4y-z+1=0，

若平面束中的平面π2與π1垂直，則

3·（2λ+5μ）+4·（λ+5μ）+1·（3λ+4μ）=0，

解得λ=-3μ，故平面π2的方程為x-2y-5z+3=0.

四、結(jié)論

構(gòu)造法作為一種常用的數(shù)學(xué)解題方法，其原則具有非常規(guī)性，方法具有試探性，思維具有創(chuàng)造性，在解題過程中體現(xiàn)了還原、分解、簡化、數(shù)形轉(zhuǎn)化等功能.本文主要分析構(gòu)造法的基本思想及其在大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中各部分的廣泛應(yīng)用，利用構(gòu)造法解題能夠培養(yǎng)我們思維的靈活性和個人分析問題的能力，使復(fù)雜的問題簡單化，使隱含的問題具體化.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李文林.數(shù)學(xué)史概論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]劉蘭萍.構(gòu)造法與數(shù)學(xué)解題[J].青海教育，2002.（9）：37.