差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的幾個(gè)應(yīng)用

易強(qiáng) 呂希元

【摘要】本文主要探討使用差分方程求解國(guó)民消費(fèi)情況，以及借助薩繆爾森乘數(shù)——加速數(shù)模型討論人口增長(zhǎng)情況.

【關(guān)鍵詞】差分方程；消費(fèi)模型；人口增長(zhǎng)

差分方程是經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理科學(xué)等學(xué)科中最常見(jiàn)的一種離散型模型.

一、消費(fèi)模型

若Yt為t期國(guó)民收入，Ct為t期消費(fèi)，It為t期投資，滿足：

Ct=α·Yt+a，It=βYt+b，Yt-Yt-1=θ（Yt-1-Ct-1-It-1）.

其中，α，β，a，b和θ均為常數(shù)，且0<α<1，0<β<1，0<α+β<1，0<θ<1，a≥0，b≥0.

消去Ct和It得：

Yt=[1+θ（1-α-β）]·Yt-1-θ（a+b），

容易求得：

Yt=Y0-a+b1-α-β[1+θ（1-α-β）]t+a+b1-α-β，t=0，1，2，…，其中Y0為基期的國(guó)民收入.

又由：Ct=αYt+a=（C0-A）[1+θ（1-α-β）]t+A，其中C0=αY0+a為基期消費(fèi)，A=α（a+b）1-α-β+a.

It=βYt+b=（I0-B）[1+θ（1-α-β）]t+B，其中，I0=βY0+b為基期投資，B=β（a+b）1-α-β+b.

例1小李夫婦為買(mǎi)房要向銀行借款60萬(wàn)元，月利息是0.005，貸款期為25年，已知每月能有6 500元的結(jié)余，小李夫婦想知道每月要償還多少錢(qián)（設(shè)為常數(shù)），進(jìn)而決定自己是否有能力來(lái)買(mǎi)房.

解設(shè)A0=600 000元為向銀行借款的金額，月利率為r=0.005，第t個(gè)月尚欠銀行At元，設(shè)25年=300月還清本息A300=0，每月要還x元，則有如下差分方程：

At+1=At（1+r）-x.

解得：At=A0-xr（1+r）t+xr，

代入A300=0，得：

x=A0·r·（1+r）300（1+r）300-1=0.005×600000×（1.005）300（1.005）300-1≈3867元，

故小李夫婦是有能力買(mǎi)房的.

二、人口增長(zhǎng)模型

設(shè)xn是某人類群體在第n個(gè)時(shí)間段（例如，年）末時(shí)的總數(shù)，若在單位時(shí)間段內(nèi)人口相對(duì)增長(zhǎng)率為r（出生率與死亡率之差），那么人口增長(zhǎng)率與原人口數(shù)成正比，從而xn+1=xn+r·xn，即xn+1=axn.

這是一個(gè)線形映射的迭代：f（x）=ax，從而xn=axn-1=a2xn-2=…=anx0，故人口增長(zhǎng)呈幾何級(jí)數(shù).

例2假設(shè)人口20年統(tǒng)計(jì)一次，且各變量定義如下：

x1（t）——第t個(gè)20年間0～20歲人口數(shù)；

x2（t）——第t個(gè)20年間21～40歲人口數(shù)；

x3（t）——第t個(gè)20年間41～60歲人口數(shù)；

x4（t）——第t個(gè)20年間61～80歲人口數(shù).

在第t個(gè)20年間21～40歲的人一共生了9個(gè)新生兒，顯然：

α=1表示一對(duì)夫婦平均生2個(gè)新生兒，

α=1.5表示一對(duì)夫婦平均生3個(gè)新生兒，

α=0.5表示一對(duì)夫婦平均生1個(gè)新生兒.

忽略幼年、青年、中年的死亡率，忽略41歲～60歲人的生育因素，試求人口增長(zhǎng)函數(shù).

解由題意得：

x1（t）=αx2（t），x2（t+1）=x1（t），x3（t+1）=x2（t），x4（t+1）=x3（t）.

整理得：x1（t+1）=αx1（t），

其解為：x1（t）=x1（0）αt，

xm（t）=xm（0）αt，m=2，3，4，

即α>1時(shí)，人口越來(lái)越多；0<α<1，人口越來(lái)越少，并趨向于零；α=1時(shí)，人口將維持在一個(gè)恒定的水平上.

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