高中數(shù)學(xué)不等式解題技巧總結(jié)

段明康

摘 要：高中數(shù)學(xué)不等式的知識不僅在數(shù)學(xué)課程中占有重要的地位，而且不等式問題在數(shù)學(xué)考試中所占的比例也越來越大。高中數(shù)學(xué)不等式解題過程中，需要一定的解題技巧作為支撐，才能提高數(shù)學(xué)解題效率。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；不等式；解題技巧；規(guī)律

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：2095-9214（2016）11-0071-01

數(shù)學(xué)是一門規(guī)律性和邏輯性都較強(qiáng)的學(xué)科。數(shù)學(xué)不等式屬于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重難點(diǎn)，且在考試中占有較大比例。高中生在日常的學(xué)習(xí)當(dāng)中，若無法準(zhǔn)確的掌握高中數(shù)學(xué)不等式解題技巧，不僅不能掌握數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)成績，而且還會在數(shù)學(xué)習(xí)題解答中遇到困難，降低解題速度。因此，在高中數(shù)學(xué)不等式學(xué)習(xí)過程中，我們需要重視挖規(guī)律、重邏輯的解題技巧，以提高高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率。

一、巧妙換元，用換元法去簡化習(xí)題

在解數(shù)學(xué)題的過程中，需要將某一個(gè)式子當(dāng)成統(tǒng)一的一個(gè)整體，通過一個(gè)量來替代它，使所遇到的問題得到簡化，這就是傳統(tǒng)的換元法。

例：假若a，b，c均∈R+，對abc≥（b+c-a）·（c+a-b）·（a+b-c）.的不等式進(jìn)行證明。

在對不等式證明問題進(jìn)行觀察與分析的過程中發(fā)現(xiàn)：a、b、c三者中的兩個(gè)進(jìn)行互換后，不等式未發(fā)生變化，因此，已經(jīng)證實(shí)這屬于對稱不等式的一種。假設(shè)在解題過程中得出以下要求：×=b+c-a，y=c+a-b，z=a+b-c，那么原有不等式可轉(zhuǎn)化成（x+y）·（y+z）·（z+x）≥8xyz，和已知不等式問題的聯(lián)系較為緊密，因此可按照上述思路進(jìn)行不等式問題的證明。

（1）不等式性質(zhì)：在對上述題目進(jìn)行觀察與分析的過程中，可得出b<0，a<-b，不僅可運(yùn)用不等式性質(zhì)進(jìn)行解題，而且也能夠通過特殊值法進(jìn)行解題。

上述問題與不等式性質(zhì)間的關(guān)系較為密切，通常情況下，多項(xiàng)式、數(shù)字母型、指數(shù)等問題，需在題設(shè)條件的基礎(chǔ)上，運(yùn)用特殊值法來進(jìn)行解題，較為方便。

三、科學(xué)反證，去深化理解反證法

反證法是在正難則反原理的基礎(chǔ)上提出的，不僅在幾何問題中的應(yīng)用較為廣泛，而且還在不等式問題證明中的應(yīng)用廣泛。

在該不等式問題的證明過程中，使用的是常規(guī)方法證明，步驟較為繁雜，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，降低我們的解題速度，延長練習(xí)時(shí)間。

四、運(yùn)用線性規(guī)劃解決不等式問題

在日常學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)線性規(guī)劃和不等式問題結(jié)合的題型，出現(xiàn)頻率較高，在解題過程中，需要注意最大值與最小值，且還逐漸發(fā)現(xiàn)與面積求解、定義域等知識有關(guān)，因此在解題中，需熟練掌握線性規(guī)劃與不等式性質(zhì)，明確上述兩知識點(diǎn)的聯(lián)系，從而保證解題的正確率。

例：已知條件如下：a>0，x、y均符合x≥1，y≥a（x-3）x+y≤3的要求，若z=2x+y，且最小值是1，求a值。

對上述題目進(jìn)行觀察與分析，發(fā)現(xiàn)該題的重點(diǎn)是對三直線確立的三角形及其面積的計(jì)算，與常規(guī)的最值求解存在很大區(qū)別，該題已經(jīng)率先給了最小值，因此需對其中某條直線位置的變量進(jìn)行求解，需轉(zhuǎn)變解題思路，以逆向思維求解，三條直線示意圖如下：

解：在z=2x+y時(shí)，與目標(biāo)A重疊時(shí)，最小值為1，A坐標(biāo)是（1，-2a），可得出1=2-2a，得出a=12。

在該類型題目的解題過程中，需注意函數(shù)最值，并找出題目中存在不等式關(guān)系，明確可行域范圍，上述題目中，a為取值范圍，并注意a>0，因此y=a（x-3）過一、三兩個(gè)象限，明確三角形可行域。

五、結(jié)語

綜上所述我們可知，在高中數(shù)學(xué)不等式的學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們只有熟練掌握解題技巧，保證解題思路與解題邏輯的正確性，才能提高解題效率與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績，從而最終提升自身的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)。

（作者單位：聊城市第三中學(xué)）

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