兩個新的雙曲平均及其Schur冪凸性

何 燈，李云杰

（福建省福清第三中學(xué)，福建 福清 350315）

兩個新的雙曲平均及其Schur冪凸性

何 燈，李云杰

（福建省福清第三中學(xué)，福建 福清 350315）

定義了兩個新的雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)的復(fù)合平均，運用分析方法，研究了這兩個平均的Schur冪凸性，給出了判定的充要條件.

Schur凸性；Schur冪凸性；雙曲函數(shù)；反雙曲函數(shù)

0 引言

2003年，《美國數(shù)學(xué)月刊》11031問題定義了如下“奇特”平均并提出一個相關(guān)的不等式猜想：

問題11031設(shè)x，y＞0，平均M（x，y）＝lnN（x，y），其中

求證或否定M（x，y）≤G（x，y）.

并通過證明sh（thx）是（0，+∞）上遞增的幾何凹函數(shù)而證明了上述猜想.

文獻[3]研究了M（x，y）關(guān)于（x，y）在（0，+∞）2上的Schur-凸性和Schur-幾何凸性.

文獻[4]定義了與M（x，y）相類似，且涉及三角函數(shù)及反三角函數(shù)復(fù)合的一個新的平均并借助于數(shù)值計算和多項式判別系統(tǒng)[5-6]，研究了M（x，y）及H（x，y）在各自定義域上更一般的性質(zhì)--Schur冪凸性[7-11].

類似于M（x，y），本文定義如下兩個新的雙曲平均研究M1（x，y）、M2（x，y）關(guān)于（x，y）在（0，+∞）2上的Schur冪凸性，給出判定的充要條件.

1 定義和引理

對于x＝（x1，x2，…，xn）∈Rn，將x的分量遞減重排后，記作x[1]≥x[2]≥…≥x[n].并用x≤y表示xi≤yi（i＝1，…，n）.

定義1[12]2設(shè)x，y∈Rn滿足則稱x被y所控制，記作x?y.

定義2[12]54設(shè)Ω?Rn，φ:Ω→R，

（i）若在Ω上x≤y?φ（x）≤φ（y），則稱φ為Ω上的增函數(shù)；若-φ是Ω上的增函數(shù)，則稱φ為Ω上的減函數(shù).

（ii）若在Ω上x?y?φ（x）≤φ（y），則稱φ為Ω上的Schur凸函數(shù)；若-φ是Ω上Schur凸函數(shù)，則稱φ為Ω上Schur凹函數(shù).

引理1[12]58設(shè)E（?Rn）是有內(nèi)點的對稱凸集，f:E→R為連續(xù)，且在E的內(nèi)部intE可微，則f在E上為Schur-凸（凹）函數(shù)當且僅當f在E上對稱，且對所有的x∈intE，都有定義3[1，13-14]設(shè)E?Rn++，對于任二向量x，y∈E，當（1nx1，1nx2，…，1nxn）?（1ny1，1ny2，…，1nyn）時，都有f（x）≤f（y）成立，則稱f是E上的Schur-幾何凸函數(shù)；f為E上的Schur-幾何凹函數(shù)，當且僅當-f為Schur-幾何凸函數(shù).

引理2[14]設(shè)為有內(nèi)點的對稱集，為凸集，f:E→R連續(xù)，且在intE內(nèi)可微，則f為Schur-幾何凸（凹）函數(shù)的充分必要條件是f在E上對稱，且對所有的x∈intE，都有

定義4[15-16]設(shè)若任取x，y∈E，當

時，都有f（x）≤f（y）成立，稱f為E上的Schur-調(diào)和凸函數(shù)；若-f是E上Schur-調(diào)和凸函數(shù)，則稱f為E上的Schur-調(diào)和凹函數(shù).

引理3[16]設(shè)為有內(nèi)點的對稱集，為凸集，f:E→R連續(xù)，且在intE內(nèi)可微，則f為E上的Schur-調(diào)和凸（凹）函數(shù)的充分必要條件是f在E上對稱，且對于任意x∈intE，都有

定義5[7-11]（i）設(shè)f:R++→R是嚴格單調(diào)函數(shù)，Ω?Rn.若對于任何x，y∈Ω，總有f-1（αf（x）+βf（y））∈Ω，則稱Ω是f-凸集，其中α，β∈[0，1]且α+β＝1.

（ii）設(shè)Ω?Rn，Ω內(nèi)部非空.φ:Ω→R，對于任意x，y∈Ω，若f（x）?f（y）時，有φ（x）≤φ（y），則稱φ為Ω上的Schur-f凸函數(shù)；若-φ是Ω上Schur-f凸函數(shù)，則稱φ為Ω上Schur-f凹函數(shù).

由Schur-f凸函數(shù)的定義知，若g為單調(diào)遞增（減），g（φ（x））有意義，則φ為Schur-f凸函數(shù)，當且僅當g?φ為Schur-f凸（凹）函數(shù).

定義6[7-11]在定義5中若取則稱φ為Ω上的Schur-m階冪凸函數(shù)；若-φ是Ω上Schur-m階冪凸函數(shù)，則稱φ為Ω上Schur-m階冪凹函數(shù).

引理4[7-11]設(shè)f:R→R是嚴格單調(diào)的可微函數(shù)，是有內(nèi)點的對稱f-凸集，φ:Ω→R于Ω上連續(xù)，在Ω的內(nèi)部Ω0可微，φ是Ω上Schur-f凸（Schur-f凹）的充要條件是φ在Ω上對稱，且對于?x∈Ω0，有

對于Schur-m階冪凸函數(shù)，若m≠0，相應(yīng)的Schur條件為

不難發(fā)現(xiàn)，式（4）綜合了式（1）（2）（3）（5）.

引理5[17]設(shè)a≤b，u（t）＝tb+（1-t）a，v（t）＝ta+（1-t）b，1/2≤t2≤t1≤1或0≤t1≤t2≤1/2，則

證明

由不等式thx＜x（x∈（0，+∞））可得

由于（thx）'＝1-th2x＞0，故g3（x）＝thx關(guān)于x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，結(jié)合不等式chx＞1及shx＞x（x∈（0，+∞））可得

2 主要結(jié)果及證明

定理1 M1（x，y）關(guān)于（x，y）在（0，+∞）2上Schur-m階冪凹當且僅當m≥1.證明

當m≥1，y1＝x1-m關(guān)于x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，結(jié)合引理6得關(guān)于x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則F2（x，y）≤0，從而ΔM1（x，y）≤0，由引理4得M1（x，y）關(guān)于（x，y）在（0，+∞）2上Schur-m階冪凹.

當m＜1，由于

顯然F2（x，y）在（0，+∞）2上符號不恒定，則ΔM1（x，y）在（0，+∞）2上符號不恒定，從而當m＜1時M1（x，y）不是（0，+∞）2上Schur-m階冪凹（凸）函數(shù).

綜上，定理1得證.

令定理1中m＝1可得

推論1 M1（x，y）關(guān)于（x，y）在（0，+∞）2上為Schur-凹函數(shù).

由推論1并結(jié)合定義2及引理5可得

推論2 對于（x，y）∈（0，+∞）2，x≤y，1/2≤t2≤t1≤1或0≤t1≤t2≤1/2，有

定理2M2（x，y）關(guān)于（x，y）在（0，+∞）2上Schur-m階冪凹當且僅當m≥1.證明

故F3（x，y）＞0.

顯然F4（x，y）在（0，+∞）2上符號不恒定，則ΔM2（x，y）在（0，+∞）2上符號不恒定，從而當m＜1時M2（x，y）不是（0，+∞）2上Schur-m階冪凹（凸）函數(shù).

綜上，定理2得證.

令定理2中m＝1可得

推論3 M2（x，y）關(guān)于（x，y）在（0，+∞）2上為Schur-凹函數(shù).

由推論3并結(jié)合定義2及引理5可得

推論4對于（x，y）∈（0，+∞）2，x≤y，1/2≤t2≤t1≤1或0≤t1≤t2≤1/2，有

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Two New Hyperbolic Averages and Their Schur Power Convexity

HE Deng,LI Yunjie
（Number 3 Middle School,Fuqing350315,Fujian,China）

The complex average of two hyperbolic function and inverse hyperbolic function is defined.The Schur power convexity of those two mean is studied by using the analytical method. The necessary and sufficient conditions for the judgment are given.

Schur convexity;Schur power convexity;hyperbolic function;inverse hyperbolic function

1001-4217（2017）04-0041-07

O178

A

2017-03-29

何 燈（1984—），男，福建福清人，學(xué)士，中學(xué)教師，全國不等式研究會成員.研究方向：解析不等式及不等式機器證明.E-mail：hedeng123@163.com