廣義單調(diào)性與廣義凸性*

趙 宇，康兆敏，劉 琳，劉春妍，黃金瑩

（佳木斯大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007）

0 引 言

通過研究函數(shù)凸性的梯度刻畫，獲得梯度向量映射的單調(diào)性，反過來(lái)可作為函數(shù)凸性的有力判據(jù).隨著函數(shù)凸性的不斷推廣以及相應(yīng)的梯度刻畫結(jié)論的獲得，單調(diào)映射的概念也不斷地被推廣并加以研究，這不僅使得廣義凸性的刻畫更加豐富，同時(shí)也極大豐富了優(yōu)化理論內(nèi)容 .1976 年，Karamardian［1］提出偽單調(diào)性；1990 年，Karamardian和 Schaible［2］提出擬單調(diào)性，并給出了偽凸性與偽單調(diào)性、擬凸性與擬單調(diào)性之間的等價(jià)性.以此為開端，國(guó)內(nèi)外學(xué)者依托廣義凸性的研究，相應(yīng)演繹出大量的廣義單調(diào)性概念.2003年，Yang等［3］建立預(yù)不變凸函數(shù)與一些廣義單調(diào)性之間的關(guān)系；2004 年，Singh 和 Pini［4］建立了G-廣義凸性與G-廣義單調(diào)映射之間的關(guān)系；2007 年，彭再云等［5］建立了G-偽凸性與G-偽單調(diào)性；2014年，陳喬和羅杰［6］提出了E-偽單調(diào)性和E-擬單調(diào)性；2016年，楊新民和戎衛(wèi)東［7］對(duì)廣義單調(diào)性的基礎(chǔ)性工作做了較為全面論述.近幾年來(lái)，廣義凸性又有了新的推廣.2017年，黃金瑩等［8］和趙宇等［9］通過在點(diǎn)集上建立廣義凸結(jié)構(gòu)的方法，給出并研究了F凸函數(shù)、F擬凸函數(shù).

本文將在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合文獻(xiàn)［8-9］的廣義凸結(jié)構(gòu)理論，建立相應(yīng)的F單調(diào)映射、F偽單調(diào)映射和F擬單調(diào)映射概念，進(jìn)一步研究廣義凸性與廣義單調(diào)性之間的關(guān)系.

1 單調(diào)映射概念

定義1設(shè)非空集合K?Rn，向量值函數(shù)F：稱F是K上的廣義凸結(jié)構(gòu)，如果F滿足以下4個(gè)條件：

（4）F關(guān)于λ在[0，1]上連續(xù)（λ連續(xù)性）.

定義2設(shè)F是K?Rn上的廣義凸結(jié)構(gòu)，且F關(guān)于λ在[0，1]上可微，?：K→ Rn為映射.

（1）稱?是K上的F單調(diào)映射，如果對(duì)有

（2）稱?是K上的F偽單調(diào)映射，如果對(duì)x，y∈K且

（3）稱?是K上的F擬單調(diào)映射，如果對(duì)x，y∈K且

注1約定符號(hào)的 含 義 是表示轉(zhuǎn)置.從定義2可以直接得到，F(xiàn)單調(diào)映射一定是F偽單調(diào)映射，F(xiàn)偽單調(diào)映射一定是F擬單調(diào)映射.

注 2在定義 2中，特取則

代入式（1）中得，

代入式（2）中得，

代入式（3）中得，

式（4～6）分別是單調(diào)映射、偽單調(diào)映射和擬單調(diào)映射的具體定義.

定義3設(shè)非空集合K?Rn，向量值函數(shù)F：K×K×[0，1]→ Rn是K上的廣義凸結(jié)構(gòu)，稱K是關(guān)于F的凸集，如果

定義4設(shè)K?Rn是關(guān)于F的凸集，實(shí)值函數(shù)f：K→ R 滿足：?x，y∈K有F(x，y，0)=y，稱f是K上的F偽凸函數(shù)，如果對(duì)?x，y∈K且f(y)＞f(x)，?α，τ＞ 0，當(dāng)λ∈[0，τ]時(shí)，有

引理1設(shè)K?Rn是關(guān)于F的開凸集，實(shí)值函數(shù)f：K→ R 滿 足 ：?x，y∈K有F(x，y，0)=y，f[F(x，y，1)]≤f(x)且F關(guān)于λ在 [0，1]上可微，f：K→ R 在K上 可 微 ，?f：K→ Rn為f的 梯 度 向量，則：

（1）f是K上的F凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?x，y∈K有

（2）f是K上的F偽凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)x，y∈K且時(shí)，有

（3）f是K上的F擬凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)x，y∈K且

證明 僅證（2）.首先證明必要性.

設(shè)x，y∈K且f(y)＞f(x)，由定義4知，?α，τ＞0，當(dāng)λ∈ [0，τ]時(shí)，有f[F(x，y，λ)]≤f(y)-λα.

由F(x，y，0)=y， 可 將 上 式 變 形 為從而

下面證明充分性.由充分性條件可知，當(dāng)x，y∈K且

取定α(＞0)使之滿足：0，即有

從而?τ∈(0，1]，使得當(dāng)λ∈[0，τ]時(shí)，有即

注3對(duì)于引理1結(jié)論（3），可將前提條件

引理2設(shè)F是K上的廣義凸結(jié)構(gòu)，且其中x，y∈K，u1,u2∈[0，1]，F(xiàn)關(guān)于λ在[0，1]上可微，則

2 廣義凸性與廣義單調(diào)性之間的關(guān)系

定理1 設(shè)K?Rn是關(guān)于F的開凸集，實(shí)值函數(shù)f：K→ R 滿 足 ：?x，y∈K有且F關(guān)于λ在[0，1]上可微，f：K→ R在K上可微，則f是K上的F凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)?f是K上的F單調(diào)映射.

證明 必要性.由引理1結(jié)論（1）知，當(dāng)f是K上的F凸函數(shù)時(shí)，對(duì)?x，y∈K有

兩式相加即得

所以，?f是K上的F單調(diào)映射.下面利用反證法證充分性.

設(shè)?f是K上的F單調(diào)映射，但f不是K上的F凸函數(shù) ，則

就有

由式（7～8）得

將式（9）改寫

由引理2計(jì)算可得

將式（11～12）代入式（10），得

即

與?f是K上的F單調(diào)映射矛盾.

定理2 設(shè)K?Rn是關(guān)于F的開凸集，實(shí)值函數(shù)f：K→ R 滿 足 ：?x，y∈K有且F關(guān)于λ在[0，1]上可微，f：K→ R在K上可微，則f是K上的F偽凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)?f是K上的F偽單調(diào)映射.

證明 必要性.由引理1結(jié)論（2）知，當(dāng)f是K上的F偽凸函數(shù)時(shí)，

F偽凸函數(shù)是F擬凸函數(shù)，由引理1結(jié)論（3）進(jìn)一步就有

當(dāng)f(x)≥f(y)時(shí)即 ：對(duì)x，y∈K且時(shí) ，有所以，?f是K上的F偽單調(diào)映射.

反證法證明充分性.設(shè)?f是K上的F偽單調(diào)映射，但f不是K上的F偽凸函數(shù) ，即雖然時(shí)，但注意到就 有由 中 值 定 理 ，使

則

即

另一方面，由引理2可計(jì)算得，

將上式代入到式（14）中得，

即

式（16）與（17）矛盾.

定理3設(shè)K?Rn是關(guān)于F的開凸集，實(shí)值函數(shù)f：K→R滿足：?x，y∈K有且F關(guān)于λ在[0，1]上可微，f：K→ R在K上可微，則f是K上的F擬凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)?f是K上的F擬單調(diào)映射.

證明必要性.設(shè)x，y∈K且0，由F擬凸性及引理1結(jié)論（3）知，進(jìn)而再由引理1結(jié)論（3）就有即當(dāng)

故?f是K上的F擬單調(diào)映射.

充分性.設(shè)?f是K上的F擬單調(diào)映射，但f不是K上的F擬凸函數(shù)，則

總有

由引理2計(jì)算得

結(jié)合式（18～22）有

與?f是K上的F擬單調(diào)映射矛盾.

3 應(yīng)用舉例

下面以定理1為例獲得一些具體廣義凸函數(shù)的廣義單調(diào)性刻畫.

定理1指出，在一定條件下，f是K上的F凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)?f是K上的F單調(diào)映射，即

由于預(yù)不變凸函數(shù)、GA-凸函數(shù)分別是特取的F凸函數(shù)，相應(yīng)可求得的形式分別為的相應(yīng)形式只需將x，y互換.分別代入式（25），可得到一些具體可微廣義凸函數(shù)的廣義單調(diào)性刻畫，例如關(guān)于預(yù)不變凸函數(shù)的結(jié)論［3］：

例1 設(shè)K?Rn是開的關(guān)于η(x，y)不變凸集，且η(x，y)滿足條件C，可微實(shí)值函數(shù)f：K→ R滿足且F關(guān) 于λ在[0，1]上可微，則f是K上的預(yù)不變凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

關(guān)于GA-凸函數(shù)的結(jié)論：

這就意味著xf′(x)為(a，b)上的遞增函數(shù).