充要條件的判斷

張艷宗　黃桂鳳

在判斷充要條件時(shí)，常常會(huì)出現(xiàn)兩類錯(cuò)誤：一是分不清條件和結(jié)論，二是理不清條件和結(jié)論的邏輯關(guān)

充要條件是高中數(shù)學(xué)中的重要概念，主要研究命題條件與結(jié)論的邏輯關(guān)系.

在浙江省的高考數(shù)學(xué)卷中，判斷充要條件的問題常出現(xiàn)在選擇題中，一般會(huì)與函數(shù)、不等式、立體幾何等知識(shí)結(jié)合起來進(jìn)行考查.

例 [2013年浙江暨陽聯(lián)誼學(xué)校高三聯(lián)考（理科）第4題] 若a，b為實(shí)數(shù)，則“3a<3b”是“■>■”的

（A） 充分不必要條件 （B） 必要不充分條件

（C） 充分必要條件 （D） 既不充分也不必要條件

錯(cuò)解1： 由3a<3b解得b>a，由■>■解得b>a.若b>a，則b>a，必要性成立；若b>a，b>a不一定成立，充分性不成立.大約有15%的同學(xué)選B.

錯(cuò)解2： 由3a<3b解得b>a，由■>■解得b>a.若b>a，則b>a，充分性成立；若b>a，b>a不一定成立，必要性不成立.大約有20%的同學(xué)選A.

錯(cuò)因1： 沒有理解充要條件的定義.

在判斷充要條件時(shí)，若題目表述為“p是q的 條件”，則p是條件，q是結(jié)論；若題目表述為“p的 條件是q”，則q是條件， p是結(jié)論.由條件出發(fā)推導(dǎo)結(jié)論可判斷充分性，由結(jié)論出發(fā)推導(dǎo)條件可判斷必要性.

由題意可知，“3a<3b”是條件，“■>■”是結(jié)論.通過等價(jià)轉(zhuǎn)化，可知題目要判斷的是條件“b>a”與結(jié)論“b>a”的邏輯關(guān)系.由條件“b>a”推導(dǎo)結(jié)論“b>a”可判斷充分性，由結(jié)論“b>a” 推導(dǎo)條件“b>a”可判斷必要性.

一些同學(xué)分不清“b>a”與“b>a”究竟誰是條件、誰是結(jié)論，也不知道充分性與必要性的判斷方向，胡亂推導(dǎo)，由條件“b>a”推導(dǎo)結(jié)論“b>a”來判斷必要性，由結(jié)論“b>a”推導(dǎo)條件“b>a”來判斷充分性，完全顛倒了.

錯(cuò)因2： 沒有認(rèn)清b>a，b>a兩者之間的邏輯關(guān)系.

錯(cuò)解1和錯(cuò)解2中都出現(xiàn)了錯(cuò)誤“若b>a，則b>a”.有的同學(xué)看到b>a，就想當(dāng)然地認(rèn)為b>a>0，由此得到b>a.事實(shí)上，如果0>b>a，則b0>a，則b>a，b=a，ba”不能推出結(jié)論“b>a”，充分性不成立.

正解1： 直接利用定義判斷充要條件.

利用定義求解可分三步走：先分清哪個(gè)是條件、哪個(gè)是結(jié)論，再根據(jù)定義判斷充分性與必要性，最后綜合得出結(jié)論.這種方法適用于判斷充要條件的任何題型.

3a<3b是條件，■>■為結(jié)論.當(dāng)3a<3b即b>a時(shí)，若0>b>a或b>0>a，結(jié)論■>■未必成立，所以充分性不成立；當(dāng)■>■即b>a時(shí)，若b0>b，條件3a<3b不成立，所以必要性不成立.選D.

正解2： 利用等價(jià)命題判斷充要條件.

當(dāng)所給命題的條件與結(jié)論都比較復(fù)雜時(shí)，可以分別對(duì)條件與結(jié)論進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，得到比較簡(jiǎn)單或容易推斷的命題，再進(jìn)行判斷.

由條件3a<3b解得b>a，由結(jié)論■>■解得b>a，由此可將原命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為判斷條件“b>a”與結(jié)論“b>a”的邏輯關(guān)系.當(dāng)b>a時(shí)，若0>b>a或b>0>a， b>a未必成立，故充分性不成立；當(dāng)b>a時(shí)，若b0>b，b>a不成立，故必要性不成立.選D.

正解3： 利用反例法判斷充要條件.

若所給命題結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，直接推斷p？圯q是否成立有困難，不妨考慮用反例法求解.若能找到一個(gè)例子使p■q，即可證明p？圯q不成立.但要證明p？圯q成立，則必須經(jīng)過嚴(yán)格的推導(dǎo)，僅靠一兩個(gè)例子說明p？圯q成立是不夠的.

取a=-2，b=1，3a<3b成立，但■>■不成立，所以充分性不成立；取a=1，b=-2，■>■成立，但3a<3b不成立，因此必要性不成立. 故“3a<3b”是“■>■”的既不充分也不必要條件.選D.

【練一練】

已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ） （A>0，ω>0，φ∈R），則“f（x）是奇函數(shù)”是“φ=■”的

（A） 充分不必要條件 （B） 必要不充分條件

（C） 充分必要條件 （D） 既不充分也不必要條件

【參考答案】 B