幾個(gè)存在反例的數(shù)學(xué)猜想

李小萍

在大多數(shù)時(shí)候，我們是通過(guò)尋找規(guī)律得出數(shù)學(xué)猜想.但是這種做法并不嚴(yán)謹(jǐn).在數(shù)學(xué)研究中，錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)猜想不占少數(shù).關(guān)鍵在于，有時(shí)反例中涉及的數(shù)據(jù)太大、太多，找出全部的反例實(shí)在是太困難了.下面我們來(lái)看看存在反例的幾個(gè)猜想.

中間出現(xiàn)了兩個(gè)-2.這是一個(gè)反例，說(shuō)明該結(jié)論不成立.為什么會(huì)出現(xiàn)n=105的反例呢？

2.Polya猜想

對(duì)自然數(shù)列的質(zhì)因數(shù)分解.2=2;3=3;4=2x2;5=5;6=2x3; 7=7; 8=2x2x2; 9=3x3; 10=2x5; 11=11; 12=2x2x3; 13=13; 14=2x7; 15=3x5; 16=2x2x2x2; 17=17;……

可以看到，4、6、9、10、14、16這6個(gè)數(shù)包含偶數(shù)個(gè)質(zhì)因子，其余11個(gè)數(shù)都含奇數(shù)個(gè)質(zhì)因子.

這個(gè)猜想對(duì)1億以內(nèi)的數(shù)都成立！

Polya猜想看上去非常合理.但在1958年，英國(guó)數(shù)學(xué)家C.B.Haselgrove發(fā)現(xiàn)，Polya猜想竟然是錯(cuò)誤的.他證明了Polya猜想存在反例，從而推翻了這個(gè)猜想.不過(guò)，Haselgrove僅僅是證明了反例的存在性，并沒(méi)有算出這個(gè)反例的具體值.Haselgrove估計(jì)，這個(gè)反例至少也是一個(gè)361位數(shù)（ 1.845x10361）.1960年，美國(guó)數(shù)學(xué)家R.ShermanLehman給出了一個(gè)確鑿的反例：n=906180359.而Polya猜想的最小反例n=906150257，則是到了1980年才被發(fā)現(xiàn).

4.Perrin素?cái)?shù)

嘗試尋找到一個(gè)簡(jiǎn)單而高效的素?cái)?shù)生成公式一直是數(shù)學(xué)學(xué)者們的理想之一.法國(guó)著名數(shù)學(xué)家家、諾貝爾獎(jiǎng)獲得者Perrin發(fā)現(xiàn)的一個(gè)數(shù)列：

1899年P(guān)errin本人曾經(jīng)做過(guò)試驗(yàn)，隨后很多人也都做過(guò)搜索，均未發(fā)現(xiàn)任何反例.

直到1982年，英國(guó)數(shù)學(xué)家Adams和Shanks才發(fā)現(xiàn)第一個(gè)反例n=271441，它等于52lx521，卻也能整除f（271441）.

事實(shí)上，有很多不是素?cái)?shù)的n，使得an是n的倍數(shù)，如271441、904631、16532714、24658561、27422714、27664033、46672291、102690901、130944133 -

似乎有這樣的規(guī)律：n能整除2n一2，當(dāng)且僅當(dāng)n是一個(gè)素?cái)?shù).

第一個(gè)反例是n=341，此時(shí)341能夠整除2 341—2，但34l=llx31.

根據(jù)Fermat小定理，如果p是素?cái)?shù)，那么p-定能整除2—2.不過(guò)，它的逆定理卻是不成立的，上面提到的341便是一例.我們把這種數(shù)叫做以2為底的偽素?cái)?shù).由于這種素?cái)?shù)判定法的反例出人意料的少，我們完全可以用它來(lái)做一個(gè)概率型的素?cái)?shù)判定算法.著名的Miller-Rabin素性測(cè)試算法就是用的這個(gè)原理.

6.Euler猜想

NoamElkies是用代數(shù)曲線上的有理點(diǎn)、模函數(shù)等知識(shí)，做了一些分類討論，將猜想化歸成了一些簡(jiǎn)單的情況，從而找到反例.

還有一些類似的恒等式可以用來(lái)給出某些類似的方程的解，如：

尋找反例并不是僅僅靠運(yùn)氣，很多時(shí)候需要結(jié)合很多技巧.要考慮如果反例出現(xiàn)，需要滿足的必要條件，再去檢驗(yàn)反例是否成立.所以說(shuō)尋找反例也要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析，而不是瞎猜一通，