一類復(fù)合函數(shù)的廣義凸性

賁天璐， 李東升，2*， 魏彥吉，2， 陸 晶，2， 王 洋

（1.長春工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，吉林長春 130012;2.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué)發(fā)展學(xué)院，吉林長春 130600）

0 引 言

推廣凸規(guī)劃中的重要結(jié)果，一個主要的方面是將涉及的凸函數(shù)推廣為各種意義下的廣義凸函數(shù)，偽凸函數(shù)和擬凸函數(shù)是凸函數(shù)的兩種重要的推廣，它們在全局優(yōu)化理論中有重要的應(yīng)用[1-4]。文中主要討論一類復(fù)合函數(shù)的偽凸和擬凸性。首先為偽凸函數(shù)、嚴格偽凸函數(shù)、擬凸函數(shù)、嚴格擬凸函數(shù)和強擬凸函數(shù)定義，然后為利用相關(guān)定義證明復(fù)合函數(shù)在一定條件下的偽凸性、嚴格偽凸性、擬凸性、嚴格擬凸性及強擬凸性，并給出了若干例子[5-8]。

1 預(yù)備知識

定義1[1]令X?Rn是一非空開凸集，f:X→R1是一可微的實值函數(shù)。

1）如果對任意兩點x1，x2∈X，滿足

時，都有f（x1）≥f（x2），則稱 f是X中的偽凸函數(shù)。

2）如果對任意兩點x1，x2∈X，且 x1≠x2，滿足

時，都有f（x1）＞f（x2），則稱 f是X中的嚴格偽凸函數(shù)。

其中，▽f是f的梯度。

定義2[1]令X?Rn是一非空開凸集，f:X→R1是一實值函數(shù)，如果對任意兩點 x1，x2∈X及任意λ∈（0，1）有

則稱 f是X中的擬凸函數(shù)。

定義3[1]令X?Rn是一非空開凸集，f:X→R1是一實值函數(shù)，如果對任意兩點x1，x2∈X，且f（x1）≠f（x2）及任意λ∈（0，1）有

則稱 f是X中的嚴格擬凸函數(shù)。

定義4[1]令X?Rn是一非空開凸集，f:X→R1是一實值函數(shù)，如果對任意兩點x1，x2∈X，且x1≠x2及任意λ∈（0，1）有

則稱 f是X中的強擬凸函數(shù)。

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè) f（x）為X?Rn上的偽凸函數(shù)，φ（y）是R上的單調(diào)增函數(shù)且可微，則復(fù)合函數(shù)h（x）=φ[f（x）]是X上的偽凸函數(shù)。

證明 由題意，對任意x1，x2∈X，如果

則由φ′（y）≥0，知

再由f（x）的偽凸性知

從而有

即

故

成立時，都有

定理2 設(shè)f（x）為X?Rn上的嚴格偽凸函數(shù)，φ（y）是R上的嚴格單調(diào)增函數(shù)且可微，則復(fù)合函數(shù)h（x）=φ[f（x）]是X上的嚴格偽凸函數(shù)。

證明 由題意，對任意x1，x2∈X，且x1≠ x2，如果

由φ′（y）≥0，知

再由 f（x）的嚴格偽凸性知

從而

即

故

成立時，都有

定理3 設(shè) f（x）為X?Rn上的擬凸函數(shù)，φ（y）是R上的單調(diào)增函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)h（x）= φ[f（x）]是X上的擬凸函數(shù)。

證明 由題意，對任意 x1，x2∈X及任意λ∈（0，1），總有

則

即

定理4 設(shè)f（x）為X?Rn上的嚴格擬凸函數(shù)，φ（y）是R上的嚴格單調(diào)增函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)h（x）=φ[f（x）]是X上的嚴格擬凸函數(shù)。

證明 由題意，對任意兩點x1，x2∈X，且f（x1）≠f（x2）及任意λ∈（0，1）有

則

即

定理5 設(shè)f（x）為X?Rn上的強擬凸函數(shù)，φ（y）是R上的嚴格單調(diào)增函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)h（x） =φ[f（x）]是X上的強擬凸函數(shù)。

證明 仿定理4證明即可。

3 舉 例

例1 已知f（x）=-lnx，X?Rn，φ（y）=ey，y∈R1，則復(fù)合函數(shù)h（x）=φ[f（x）]是X上的偽凸函數(shù)。

證明 由題意，對任意x1，x2∈X，如果

則由φ′（y）=ey≥0，知

由f（x）的偽凸性可知

從而有

即

故

成立時，都有

例2 已知 f（x）=lnx，X?Rn，φ（y）=ey，y∈R1，則復(fù)合函數(shù)h（x）=φ[f（x）]是X上的嚴格偽凸函數(shù)。

證明 由題意，對任意x1，x2∈X，且x1≠x2，如果

由φ′（y）=ey≥0，知

再由 f（x）的嚴格偽凸性知

從而有

即

故

成立時，都有

例3 已知f（x）=-x，X?Rn，φ（y）= lny，y∈R1，則復(fù)合函數(shù)h（x）=φ[f（x）]是X上的擬凸函數(shù)。

證明 由題意，對任意 x1，x2∈X及任意λ∈（0，1），總有

則

即

例4 已知f（x）=x，X?Rn，φ（y）=lny，y∈R1，則復(fù)合函數(shù)h（x）=φ[f（x）]是X上的嚴格擬凸函數(shù)。

證明 由題意，對任意兩點x1，x2∈X，且f（x1）≠f（x2）及任意λ∈（0，1），總有

則

即

例5 已知 f（x）=ex，X?Rn，φ（y）=lny，y∈R1，則復(fù)合函數(shù)h（x）=φ[f（x）]是X上的強擬凸函數(shù)。

證明 由題意，對任意兩點x1，x2∈X，且x1≠x2及任意λ∈（0，1），總有

則

即

4 結(jié) 語

廣義凸函數(shù)在最優(yōu)化理論中有重要的應(yīng)用。文中對單調(diào)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的廣義凸性進行了討論，得到了相關(guān)的結(jié)論。關(guān)于廣義凸函數(shù)中更多的性質(zhì)還需進一步研究。

[1] 林銼云，董加禮.多目標優(yōu)化的方法與理論[M].長春:吉林教育出版社，1992.

[2] 魏權(quán)齡，閆洪.廣義最優(yōu)化理論和模型[M].北京:科學(xué)出版社，2003.

[3] 韓繼業(yè)，修乃華，戚厚鐸.非線性互補理論與算法[M].上海:上海科學(xué)出版社，2006.

[4] 郭科，陳聆，魏友華.最優(yōu)化方法及其應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社，2007.

[5] 曠華武，陽南寧.線性空間中的一類新廣義凸集及其應(yīng)用[J].西南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2010，35（4）:1-5.

[6] HU Qing-jie，XIAO Yun-hai，CHEN Nei-ping. Optimality and duality on fractional multi-objective prorammily under semilocal E-convexity[J].數(shù)學(xué)季刊:英文版，2009，24（2）:200-210.

[7] 黃志傳.一類廣義凸多目標分式規(guī)劃的最優(yōu)性條件和對偶[J].廣東教育學(xué)院學(xué)報，2009，29（5）:44-50.

[8] 李瑞華，王雪梅.廣義凸規(guī)劃問題的最優(yōu)性條件[J].綿陽師范學(xué)院學(xué)報，2010，29（2）:15-18.