一個(gè)對數(shù)不等式的改進(jìn)

李祥林，馬玉軍

（1.齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006；2.齊齊哈爾技師學(xué)院 教務(wù)處，黑龍江 齊齊哈爾 161002）

令 g （x ） = 39 x4+ 78 x3+ 59 x2+ 20 x+ 2，

則 g ′ （ x ） = 156 x3+ 234 x2+ 118 x + 20， g ′ （ x ） = 468 x2+ 468 x+ 118，

當(dāng) x＜- 1時(shí)， g ′ （x）＞ 0， g ′ （x）在（ -∞，- 1）上是增函數(shù)，又 g′ （ - 1） =- 20 ＜ 0；

當(dāng) x＜- 1時(shí)， g ′ （ x）＜ 0； g （x ）在（ -∞，- 1）上是減函數(shù)，又g （ -1 ） = 2 ＞ 0，當(dāng) x ＜- 1時(shí)， g （ x ）＞ 0，故當(dāng) x＜- 1時(shí)， f ′ （x） ＞ 0，

定理2當(dāng) 0x ＞ 時(shí)，

令 k （x ） = 186 x6+ 558 x5+ 749 x4+ 568 x3+ 248 x2+ 57 x+ 6，

則 k ′ （ x ） = 1116 x5+ 2790 x4+ 2996 x3+ 1704 x2+ 496 x+ 57，

k（4）（x ）= 66960 x2+ 66960 x+ 17976，

k（4）（ - 1） = 17976 ＞ 0，故當(dāng) x ＜- 1時(shí)， k（4）（ x）＞ 0，

k ′ （x）在（ -∞，- 1）上是增函數(shù)，又 k′ （ - 1） =-5 7 ＜ 0，當(dāng) x＜-1 時(shí)， k ′ （ x） ＜ 0；

k （x ）在（ -∞，- 1）上是減函數(shù)，又 k（ - 1） = 6 ＞ 0，當(dāng) x ＜- 1時(shí)， k （ x ）＞ 0，

故當(dāng) x＜-1 時(shí)， h ′ （x） ＞ 0；

定理3當(dāng) 0x ＞ 時(shí)，

當(dāng) 1x＜- 時(shí)，

證明：令

令 q （x ） = 10332 x8+ 41328 x7+ 80109 x6+ 95679 x5+ 74889 x4+ 38529 x3+ 12711x2+ 2505 x+ 220，則

q ′ （ x ） = 82656 x7+ 289296 x6+ 480654 x5+ 478395 x4+ 299556 x3+ 115587 x2+ 25422 x+ 2505

q（4）（ x ）=17357760 x4+34715520 x3+28839240 x2+11481480 x+ 1797336

q（5）（x ）=69431040 x3+104146560 x2+57678480 x+ 11481480

q（6）（ x ）=208293120 x2+208293120 x+ 57678480

q（6）（ -1 ） = 57678480 ＞ 0，

故當(dāng) x＜-1 時(shí)， q（6）（ x）＞ 0，

q（5）（ x ）在（ -∞，- 1）上是增函數(shù)，又 q（5）（ -1 ） =-1 1481480 ＜ 0，當(dāng) x ＜-1 時(shí)， q（5）（ x）＜ 0；

q（4）（ x ）在（ -∞，- 1）上是減函數(shù)，又q（4）（ -1 ） = 1797336 ＞ 0，當(dāng) x＜- 1時(shí)， q（4）（ x ）＞ 0；

q ′ （x）在（ -∞，- 1）上是增函數(shù)，又 q′ （ - 1） =-2 505 ＜ 0，當(dāng) x ＜- 1時(shí)， q ′ （x）＜ 0；

q （x ）在（ -∞，- 1）上是減函數(shù)，又 q（ - 1） = 220 ＞ 0，當(dāng) x＜-1 時(shí)， q （x） ＞ 0；

故當(dāng) x＜- 1時(shí)， p ′ （ x）＞ 0；

p （x ）在（ -∞，- 1）上是增函數(shù)[7]，又xl→im-∞p ( x) = 0，故當(dāng) x ＜- 1時(shí)， p （x） ＞ 0，

即當(dāng) 1x＜- 時(shí)，