具有廣義C-凸性的一類分式規(guī)劃的對偶

李 鈺，嚴建軍，李江榮(. 延安大學 數(shù)學與計算機科學學院, 陜西 延安 76000; 2. 延安職業(yè)技術學院, 陜西 延安 76000)

近年來，隨著凸性理論在優(yōu)化領域的廣泛應用，涌現(xiàn)出豐碩的研究成果。文獻[1-6]提出了(C,α,ρ,d)-凸函數(shù)，并對包含此類凸性的多目標、分式規(guī)劃等問題的最優(yōu)性條件與對偶性定理進行了研究。受上述文獻啟示，作者結(jié)合文獻[7-8]中提出的廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸性，討論了一類多目標半無限分式規(guī)劃的Mond-Weir型對偶問題。

1 基本概念

定義1[1]稱函數(shù)C:X×X×Rn→R在Rn上關于第三個變元是凸的, 若?(x,x0)∈X×X, ?y1,y2∈Rn, 有

C(x,x0)(λy1+(1-λ)y2)≤λC(x,x0)(y1)+(1-λ)C(x,x0)(y2), ?λ∈(0,1)。

在文中, 均假設?(x,x0)∈X×X, 有C(x,x0)(0)=0。

定義2[1]設函數(shù)f:X→R是局部Lipschitz函數(shù), 若?α:X×X→R+{0},ρ∈R,d:X×X→R+, 如果?x∈X, 有

(f(x)-f(x0))/α(x,x0)≥C(x,x0)(ξ)+ρd(x,x0)/α(x,x0), ?ξ∈?f(x0),

則稱函數(shù)f在x0處是(C,α,ρ,d)-凸函數(shù)。

bi(x,x0)φ(fi(x)-fi(x0))≥αi(x,x0)C(x,x0)(ξi)+

ρid2(θi(x,x0)), ?ξi∈?Kfi(x0),

則稱函數(shù)f=(f1,…,fp)在x0∈X處是廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸函數(shù)。

如果函數(shù)f在X上每一點處為廣義(C,α,ρ,d)K,θ-

凸函數(shù), 則稱f在X上是廣義(C,α,ρ,d)K,θ-凸函數(shù)。

bi(x,x0)φ(fi(x)-fi(x0))<(≤)0?αi(x,x0)C(x,x0)(ξi)+ρid2(θi(x,x0))<0，?ξi∈?Kfi(x0),

則稱函數(shù)f=(f1,…,fp)在x0∈X處是廣義(C,α,ρ,d)K,θ-(嚴格)偽凸函數(shù)。

如果函數(shù)f在X上每一點處為廣義(C,α,ρ,d)K,θ-(嚴格)偽凸函數(shù), 則稱f在X上是廣義(C,α,ρ,d)K,θ-(嚴格)偽凸函數(shù)。

bi(x,x0)φ(fi(x)-fi(x0))≤(<)0?αi(x,x0)C(x,x0)(ξi)+ρid2(θi(x,x0))≤0,?ξi∈?Kfi(x0),

則稱函數(shù)f=(f1,…,fp)在x0∈X處是廣義(C,α,ρ,d)K,θ-(弱)擬凸函數(shù)。

如果函數(shù)f在X上每一點處為廣義(C,α,ρ,d)K,θ-(弱)擬凸函數(shù), 則稱f在X上是廣義(C,α,ρ,d)K,θ-(弱)擬凸函數(shù)。

對于下述規(guī)劃:

s.t.hj(x)≤0,j∈J,

考慮(MSIFP)的Mond-Weir型對偶:

2 主要結(jié)果

(ii) 對于j∈J(y),h在y處是廣義(C,β,ρ2,d)K,θ-凸函數(shù)。

(iii) 廣義Slater條件成立, 即x0∈X, 有hj0(x0)<0,j0∈J(y), 且σj0>0。

(iv)α1=…=αp=β1=…=β(J)=δ。

(v)b1(x,y)>0,b2(x,y)>0; 若a≤0, 則φ1(a)≤0; 若a<0, 則φ2(a)<0。

且?i0, 1≤i0≤p,i≠i0, 使

據(jù)(i)和(v), 得

則

αi(x,y)C(x,y)(ξi)+ρ1id2(θi(x,y))≤0,

因為λ∈Λ+, 所以

當x0∈X, 有

(1)

由(iii), 可得

hj0(x0)<0=hj0(y),j0∈J(y),

即有

hj0(x0)-hj0(y)<0,

又由(v), 知

b2j0(x0,y)φ2(hj0(x0)-hj0(y))<0,

由(ii), 有

βj0(x0,y)C(x0,y)(ζj0)+ρ2j0d2(θj0(x0,y))<0,?ζj0∈?Khj0(y),

用σj0>0乘以上式, 有

βj0(x0,y)C(x0,y)(σj0ζj0)+σj0ρ2j0d2(x0,y)<0, ?ζj0∈?Khj0(y),

(2)

因σj≥0,j∈J(y),j≠j0及第二個約束條件, 得

hj(x0)≤0≤hj(y),

又由(v)和(ii)可知, ?ζj∈?Khj(y), 有

βj(x0,y)C(x0,y)(σjζj)+σjρ2jd2(θj(x0,y))≤0,j∈J(y),j≠j0,

當j∈J(y)(j≠j0)時，對上式求和, 得

(3)

當j∈JJ(y)時, 令σj=0, 有

(4)

將式(1)―(4)相加, 結(jié)合函數(shù)C的凸性和(iv), 可得

由(vi), 知

≤0,

這與(MSIFD)的第一個約束條件矛盾！所以

(ii) 當j∈J(y)時,h在y處是廣義(C,β,ρ2,d)K,θ2-擬凸函數(shù)。

(iii)α=β1=…=β(J)=δ。

(iv)b1(x,y)>0,b2(x,y)>0; 若a<0, 則φ1(a)<0, 若a≤0, 則φ2(a)≤0。

由于λ∈Λ++, 故

據(jù)(iv), 得

由(i)有

α(x,y)C(x,y)(ξ)+ρ1d2(θ1(x,y))<0,

(5)

根據(jù)σj≥0,j∈J(y)和第二個約束條件, 得

hj(x)≤0≤hj(y),

由(iv)和(ii)，有

βj(x,y)C(x,y)(σjζj)+σjρ2jd2(θ2j(x,y))≤0,?ζj∈?Khj(y),j∈J(y),

當j∈JJ(y)時, 令σj=0, 可知

(6)

式(5)、(6)相加，結(jié)合函數(shù)C的凸性與(iii), 得

依(v)知

這與(MSIFD)的第一個約束條件矛盾！所以

(ii) 當j∈J(y)時,h在y處是廣義(C,β,ρ2,d)K,θ2-擬凸函數(shù)。

(iii)α=β1=…=β(J)=δ。

(iv)b1(x,y)>0,b2(x,y)>0; 若a≤0, 則φ1(a)≤0, 若a≤0, 則φ2(a)<0。

證明證明類似定理2。

(ii) 對于j∈J(y),h在y處是廣義(C,β,ρ2,d)K,θ2-嚴格偽凸函數(shù)。

(iii)α=β1=…=β(J)=δ。

(iv)b1(x,y)>0,b2(x,y)>0; 若a<0, 則φ1(a)<0, 若a≤0, 則φ2(a)<0。

證明證明類似定理2。

(ii) 對于j∈J(y),h在y處是廣義(C,β,ρ2,d)K,θ-凸函數(shù)。

(iii) 廣義Slater條件成立, 即x0∈X, 有hj0(x0)<0,j0∈J(y), 且σj0>0。

(iv)α1=…=αp=β1=…=β(J)=δ。

(v)b1(x,y)>0,b2(x,y)>0; 若a<0, 則φ1(a)<0, 若a≤0, 則φ2(a)<0。

易知(MSIFP)與(MSIFD)有相等的目標函數(shù)值。

(ii) 當j∈J(y)時,h在y處是廣義(C,β,ρ2,d)K,θ-擬凸函數(shù)。

(iii)α1=…=αp=β1=…=β(J)=δ。

(iv)b1(x,y)>0,b2(x,y)>0; 若a<0, 則φ1(a)<0, 若a≤0, 則φ2(a)<0。

證明證明類似定理5。

3 結(jié)語

本文在已有文獻提出的新廣義凸性概念基礎上，針對包含此類廣義凸性的分式規(guī)劃的對偶問題進行了探討，得到的結(jié)果豐富了廣義凸性和最優(yōu)化的有關理論,可進一步研究其Wolfe型對偶性、鞍點等內(nèi)容。