函數(shù)兩種凸性定義等價(jià)性的今惑前世之初探

全 然

(河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，鄭州450001)

1 引 言

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編的高等數(shù)學(xué)是國(guó)內(nèi)大部分理工科非數(shù)學(xué)本科專(zhuān)業(yè)采用的經(jīng)典教材[1]，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院編的數(shù)學(xué)分析是國(guó)內(nèi)大部分?jǐn)?shù)學(xué)本科專(zhuān)業(yè)采用的經(jīng)典教材[2]，兩套教材都對(duì)函數(shù)的凸性進(jìn)行了定義.文獻(xiàn)[1]基于區(qū)間上任意兩點(diǎn)的中點(diǎn)來(lái)定義函數(shù)的凸性，即所謂中點(diǎn)凸，而文獻(xiàn)[2]則是基于任意兩點(diǎn)的凸組合來(lái)定義函數(shù)的凸性.筆者在講授高等數(shù)學(xué)[1]時(shí)，一直認(rèn)為兩種定義是等價(jià)的，但并沒(méi)有去深究在什么條件下等價(jià)，為什么等價(jià).

近來(lái)，筆者想探究這兩種凸性定義是否等價(jià)的愿望愈發(fā)強(qiáng)烈，于是對(duì)兩種凸性的定義進(jìn)行了認(rèn)真研究.為了討論方便，如果沒(méi)有特別指明，下文所述區(qū)間I既可以是閉區(qū)間也可以是開(kāi)區(qū)間，區(qū)間I0表示去掉區(qū)間I的端點(diǎn)后形成的開(kāi)區(qū)間，如果I是開(kāi)區(qū)間，則I0=I.研究發(fā)現(xiàn)，詹森(Jensen)最早定義了函數(shù)的凸性并對(duì)其進(jìn)行了系統(tǒng)研究[3-8]，該定義具體如下.

定義1[3-8]設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)x1,x2恒有

(1)

則稱(chēng)f(x)在區(qū)間I上是J凸的，或者稱(chēng)f(x)在區(qū)間I上是J凸函數(shù).

文獻(xiàn)[2]中凸性定義是國(guó)內(nèi)外大多數(shù)文獻(xiàn)所采用的定義[2,5-9]，具體如下.

定義2[2]設(shè)f(x)在區(qū)間I上有定義，如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)x1,x2和任意實(shí)數(shù)λ∈(0,1)恒有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),

(2)

則稱(chēng)f(x)在區(qū)間I上是凸的，或者稱(chēng)f(x)在區(qū)間I上是凸函數(shù).

從表面形式上看，以上兩種定義并不一樣.而且易知凸函數(shù)一定是J凸函數(shù)，反之未必成立.通過(guò)進(jìn)一步探究高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析教材[1]、[2]、[10-12]發(fā)現(xiàn):

(i) 文獻(xiàn)[1]和[10]的凸性定義類(lèi)似定義1，利用式(1)進(jìn)行定義，而文獻(xiàn)[2]、[11]和[12]的凸性定義類(lèi)似定義2，利用式(2)進(jìn)行定義；

(ii) 文獻(xiàn)[1]和[12]要求函數(shù)具有連續(xù)性，而文獻(xiàn)[2]、[10]和[11]則沒(méi)有連續(xù)性的要求.

所以筆者的“今惑”是：

(i) 定義1和定義2這兩種凸性定義是否等價(jià)，為什么？

(ii) 在什么條件下這兩種凸性定義等價(jià)？

本文基于筆者自己的“今惑”和相關(guān)參考文獻(xiàn)，研究梳理這兩種凸性定義的“前世”：

(i) 兩種凸性定義的早期發(fā)展歷史；

(ii) 兩種凸性定義的性質(zhì)以及它們等價(jià)需要的條件.

自從函數(shù)凸性在19世紀(jì)末20世紀(jì)初被提出并定義之后[3-8]，便得到了廣泛研究[13-27]，時(shí)至今日，函數(shù)凸性的定義更是達(dá)到了十幾種之多[16-18]，定義1和定義2這兩種凸性定義的等價(jià)性也是許多文獻(xiàn)研究的重要內(nèi)容.一方面，由于開(kāi)區(qū)間上的凸函數(shù)連續(xù)，而開(kāi)區(qū)間上的J凸函數(shù)不一定連續(xù)[5,28]，這意味著函數(shù)兩種凸性定義并不等價(jià).另一方面，易知滿足定義1的函數(shù)不一定滿足定義2，但滿足定義2的函數(shù)一定滿足定義1.這意味著滿足定義1的函數(shù)即J凸函數(shù)更廣泛，所需條件更弱.所以主要是在定義1上增加條件，進(jìn)而討論證明定義1和定義2這兩種凸性定義等價(jià).這些增加的條件大致可以分為四類(lèi)：第一類(lèi)，函數(shù)具有連續(xù)性；第二類(lèi)，函數(shù)具有可微性；第三類(lèi)，函數(shù)具有半連續(xù)性，包括上半連續(xù)和下半連續(xù)；第四類(lèi)，函數(shù)具有有界性.由定義2可以證明凸函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)[2]，又由于連續(xù)性是許多函數(shù)都具有的一個(gè)基本性質(zhì)，所以大多數(shù)文獻(xiàn)都是直接或間接利用函數(shù)的連續(xù)性[5-8]，[16-21]來(lái)討論證明兩種凸性定義的等價(jià)性.文獻(xiàn)[16]以及[19-21]又進(jìn)一步基于函數(shù)的可微性來(lái)討論證明兩種凸性定義的等價(jià)性；文獻(xiàn)[22-25]是在半連續(xù)條件下討論證明兩種凸性定義的等價(jià)性；文獻(xiàn)[7]、[17-19]則是在有界性條件下討論證明兩種凸性定義的等價(jià)性.當(dāng)然，相當(dāng)多的文獻(xiàn)同時(shí)討論了多種凸性定義的等價(jià)性，而且往往是采用循環(huán)的方式進(jìn)行證明，如文獻(xiàn)[16-18]和[21]分別討論了十三種、八種、十七種和四種凸性定義的等價(jià)性.

下文將通過(guò)研究梳理函數(shù)兩種凸性定義的前世，即(i)兩種凸性定義的早期發(fā)展歷史；(ii)兩種凸性定義的性質(zhì)以及它們等價(jià)需要的條件，以釋筆者的今惑，即(i)兩種凸性定義是否等價(jià)，為什么？(ii)在什么條件下這兩種凸性定義等價(jià)？

2 凸性定義的早期發(fā)展歷史

盡管H?lder、Stolz和Hadamard分別于1889年、1893年和1896年(早于詹森)已經(jīng)研究了函數(shù)的凸性[5，8]，但大部分學(xué)者認(rèn)為是詹森在1905和1906年首先定義了函數(shù)的凸性，即定義1，并對(duì)函數(shù)凸性進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，詹森還證明了下面的結(jié)論1[3-8].

結(jié)論1[3-4]若f(x)為區(qū)間I上的J凸函數(shù)，則對(duì)于任意點(diǎn)x1,…,xn∈I以及任意滿足λ1+…+λn=1的非負(fù)有理數(shù)λ1,…,λn，有

(3)

結(jié)論1的證明可參見(jiàn)文獻(xiàn)[6]和[8].需要指出的是，人們隨后將式(3)推廣為式(2)來(lái)定義函數(shù)凸性[26-27]，即定義2，又進(jìn)一步把結(jié)論1推廣為如下結(jié)論.

結(jié)論2[6](i) 函數(shù)f(x)為區(qū)間I上J凸函數(shù)的充要條件是式(3)對(duì)于任意點(diǎn)x1,…,xn∈I以及任意滿足λ1+…+λn=1的非負(fù)有理數(shù)λ1,…,λn均成立；

(ii)f(x)為I上凸函數(shù)的充要條件是式(3)對(duì)于任意點(diǎn)x1,…,xn∈I以及滿足λ1+…+λn=1的任意非負(fù)實(shí)數(shù)λ1,…,λn均成立.

結(jié)論2的證明詳見(jiàn)文獻(xiàn)[6].需要說(shuō)明的是，結(jié)論2的第一部分是一個(gè)充要條件，給出了J凸函數(shù)的一個(gè)等價(jià)命題，而結(jié)論1只是J凸函數(shù)的一個(gè)必要條件，結(jié)論2更強(qiáng)；同時(shí)，結(jié)論2還給出了凸函數(shù)的一個(gè)等價(jià)形式，甚至有學(xué)者把這個(gè)等價(jià)形式作為凸函數(shù)的定義[6，16，18].有人將式(3)稱(chēng)為詹森不等式[5-6]，也有人將式(1)-(3)均稱(chēng)為詹森不等式[26-27].

3 兩種凸性定義的性質(zhì)

下面討論兩種凸性定義的相關(guān)性質(zhì).

3.1 凸函數(shù)與連續(xù)性

首先討論凸函數(shù)與連續(xù)的關(guān)系.

結(jié)論3(i) 若函數(shù)f(x)為區(qū)間I上的J凸函數(shù)，則其在區(qū)間I的內(nèi)部I0內(nèi)不一定連續(xù)；

(ii) 若函數(shù)f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則其在I0內(nèi)連續(xù).

需要說(shuō)明的是，第一，文獻(xiàn)[28]構(gòu)造了一類(lèi)J凸函數(shù)，并證明其在I0內(nèi)不連續(xù)；第二，結(jié)論3中第二個(gè)結(jié)論的證明方法比較多，文獻(xiàn)[2]通過(guò)一個(gè)例題證明了凸函數(shù)在I0內(nèi)任一點(diǎn)處的左、右導(dǎo)數(shù)均存在，從而得到函數(shù)的連續(xù)性，文獻(xiàn)[6]中第4頁(yè)給出了一種基于利普希茨連續(xù)的證明方法來(lái)證明函數(shù)的連續(xù)性，其他證明方法這里就不再一一列舉；第三，閉區(qū)間上的凸函數(shù)不一定連續(xù)，如

雖然該函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上是凸的，但在該區(qū)間上不連續(xù).

下面結(jié)論4是由詹森首先給出并證明[3-4]，說(shuō)明J凸函數(shù)在比較弱的條件下也具有連續(xù)性.

結(jié)論4若函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)為J凸函數(shù)且有上界，則f(x)在I內(nèi)連續(xù).

Bernstein和Doetsch于1915年在更弱的條件下，證明了J凸函數(shù)的連續(xù)性[29]，即下面的結(jié)論5.

結(jié)論5若f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)為J凸函數(shù)且在I內(nèi)某一點(diǎn)的鄰域內(nèi)有上界，則其在I內(nèi)連續(xù).

結(jié)論5的詳細(xì)證明可參見(jiàn)文獻(xiàn)[6]和[7].結(jié)論3～5給出了一定條件下(J)凸函數(shù)具有連續(xù)性，其實(shí)在連續(xù)的條件下，兩種凸性定義等價(jià)，具體見(jiàn)下面結(jié)論6和結(jié)論7.

結(jié)論6[20]若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則定義1與定義2等價(jià)，即兩種凸性定義等價(jià).

結(jié)論7[19]f(x)在區(qū)間I上為凸函數(shù)的充要條件是f(x)在I上為J凸函數(shù)且在I0內(nèi)連續(xù).

結(jié)論6和結(jié)論7的證明分別詳見(jiàn)文獻(xiàn)[20]和[19]，兩個(gè)結(jié)論的實(shí)質(zhì)是J凸函數(shù)在增加連續(xù)性的條件下和凸函數(shù)等價(jià).其實(shí)，連續(xù)并不是一個(gè)很強(qiáng)的條件，包括初等函數(shù)在內(nèi)的許多函數(shù)都具有連續(xù)性.結(jié)論6和結(jié)論7表明：

結(jié)論8若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則兩種凸性定義等價(jià).

3.2 凸函數(shù)與可微性

接下來(lái)將討論凸函數(shù)與可微的關(guān)系.由結(jié)論3的第一個(gè)結(jié)論易知，J凸函數(shù)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)的左導(dǎo)數(shù)或右導(dǎo)數(shù)可能不存在，這說(shuō)明J凸函數(shù)的可導(dǎo)性可能較差，但凸函數(shù)的可導(dǎo)性相對(duì)較好，具體見(jiàn)下面的結(jié)論9和結(jié)論10.

結(jié)論9[6,20]設(shè)函數(shù)f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)，則對(duì)于?x∈I0，左右導(dǎo)數(shù)f′-(x)，f′+(x)都存在，且f′-(x)，f′+(x)均為增函數(shù)，f′-(x)≤f′+(x),?x∈I0.

結(jié)論10[6]設(shè)f(x)為開(kāi)區(qū)間I上的凸函數(shù)，集合E為f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)構(gòu)成的集合，則E是可數(shù)的，且f′(x)在IE上連續(xù).

結(jié)論9的證明詳見(jiàn)文獻(xiàn)[6]和[20]，結(jié)論10的證明詳見(jiàn)文獻(xiàn)[6].需要說(shuō)明的是，Stolz在1893年已經(jīng)證明[8]，如果f(x)在區(qū)間I上連續(xù)且滿足式(1)，則其在I的任一內(nèi)點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)都存在.這是必然的結(jié)果.這是因?yàn)椋鬴(x)在區(qū)間I上連續(xù)且滿足式(1)，則說(shuō)明f(x)為區(qū)間I上連續(xù)的J凸函數(shù)，從而由結(jié)論7可知f(x)為區(qū)間I上的凸函數(shù)，進(jìn)一步由結(jié)論9可知f(x)在I0內(nèi)的左右導(dǎo)數(shù)都存在.

在函數(shù)可導(dǎo)的條件下，可得到如下判斷函數(shù)是否為凸函數(shù)的兩個(gè)結(jié)論.

結(jié)論11[20](i)若f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)為I上凸函數(shù)的充要條件是f′(x)在I上單調(diào)遞增；

(ii) 若f(x)在I上二階可導(dǎo)，則f(x)為I上凸函數(shù)的充要條件是f″(x)≥0.

結(jié)論12若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則定義1與定義2等價(jià)，即兩種凸性定義等價(jià).

結(jié)論11的證明詳見(jiàn)文獻(xiàn)[20].也可以這樣理解結(jié)論12，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，故由結(jié)論8可知，兩種凸性定義等價(jià)，故結(jié)論12正確.

3.3 凸函數(shù)與半連續(xù)性

前面討論了在連續(xù)或可微的條件下，兩種凸性定義等價(jià)，下面結(jié)論說(shuō)明在更弱的半連續(xù)條件下兩種凸性定義也等價(jià).

結(jié)論13[22-24]若函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的上半連續(xù)函數(shù)，則兩種凸性定義等價(jià).

結(jié)論14[22-24]若函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的下半連續(xù)函數(shù)，則兩種凸性定義等價(jià).

結(jié)論15[22-24]函數(shù)f(x)是區(qū)間I上凸函數(shù)的充要條件是f(x)既是I上的J凸函數(shù)又是I上的上半連續(xù)函數(shù).

結(jié)論13～15的證明詳見(jiàn)文獻(xiàn)[22-24].正如文獻(xiàn)[24]所述，由結(jié)論14可知，如果f(x)在區(qū)間I下半連續(xù)且在I上是J凸函數(shù)，則f(x)在I上一定是凸函數(shù)，從而由結(jié)論15可知f(x)在I上為上半連續(xù)函數(shù)，所以f(x)是I上的連續(xù)函數(shù).因此結(jié)論14中的下半連續(xù)函數(shù)這一等價(jià)前提條件可以改為連續(xù)函數(shù)，二者是一回事.將結(jié)論13和14合二為一，即為

結(jié)論16若函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的上半連續(xù)函數(shù)或下半連續(xù)函數(shù)，則兩種凸性定義等價(jià).

3.4 凸函數(shù)與有界性

最后討論凸函數(shù)與有界的關(guān)系，具體見(jiàn)下面的三個(gè)結(jié)論.

結(jié)論17[19]若函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則f(x)在I的任一閉子區(qū)間上有界.

結(jié)論18[19]函數(shù)f(x)是區(qū)間I上凸函數(shù)的充要條件是f(x)既是I上的J凸函數(shù)又在I的任一閉子區(qū)間上有上界.

結(jié)論19若函數(shù)f(x)在區(qū)間I的某一子區(qū)間上有上界，則兩種凸性定義等價(jià).

結(jié)論17和18的證明詳見(jiàn)文獻(xiàn)[19].對(duì)于結(jié)論19，由前面結(jié)論5可知，如果J凸函數(shù)f(x)在區(qū)間I的某一子區(qū)間上有上界，則f(x)在I0內(nèi)連續(xù)，從而由結(jié)論7可知f(x)是I上的凸函數(shù)，故結(jié)論19正確.

4 結(jié) 論

本文系統(tǒng)、全面、深入總結(jié)了兩種凸性定義的早期發(fā)展歷史及已有的一些研究成果；期望幫助對(duì)兩種凸性定義等價(jià)性了解不深入的高校教師及相關(guān)人員更好的了解兩種凸性定義的早期發(fā)展歷史；把握凸函數(shù)的連續(xù)性、可微性、半連續(xù)性和有界性以及在連續(xù)、可微、半連續(xù)和有界等任一條件下兩種凸性定義等價(jià)性.

致謝作者非常感謝相關(guān)參考文獻(xiàn)給予本文的啟示以及審稿專(zhuān)家提出的寶貴意見(jiàn).