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    羅爾定理中輔助函數的構造法

    2022-12-01 01:09:14郭元春陳思源馬曉燕
    科技風 2022年32期
    關鍵詞:開區(qū)間羅爾微分

    郭元春 陳思源 馬曉燕

    1.西安思源學院基礎部 陜西西安 710038;2.西安思源學院高等教育營銷研究中心 陜西西安 710038

    微分中值定理在微積分學中占有十分重要的地位,是用函數局部性質推斷整體性質的有力工具。羅爾定理是微分中值定理中最為基礎的一個,定理內容:若函數f(x)滿足在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內可導,且f(a)=f(b),則存在某個中值ξ∈(a,b),使得等式f′(ξ)=0。利用羅爾定理證明中值等式問題的難點就是輔助函數的構造。劉文武、張軍、肖俊等人[1-3]采用逆向思維法對該類問題做了相應的研究。逆向思維法是從結果出發(fā)分析中值等式的特點,選擇適當的方法構造輔助函數。

    微分中值等式問題常見的形式是:已知函數f(x)滿足在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內可導,且f(x)滿足某些附加條件,求證存在某個中值ξ∈(a,b),使得等式F(ξ,f(ξ),f′(ξ))=0。該等式左邊看作是某個函數g(x)在點ξ處的導數,即g′(ξ)=0。由拉格朗日中值定理可知,g(x)=C是滿足該等式的最簡單的函數。顯然這個隱函數是原微分方程的通解,因此,在微分中值問題中,一般把通解中的積分常數令為輔助函數。本文采用逆向思維法,對微分中值問題中構造輔助函數的常見題型作歸納和總結。

    一、利用分離變量法構造輔助函數

    (一)證明的等式是關于ξ,f(ξ),f′(ξ)的微分方程

    例1[4]:設函數f(x)在閉區(qū)間[0,π]上連續(xù),在開區(qū)間(0,π)內可導,證明:在開區(qū)間(0,π)內至少存在一點ξ,使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。

    證明:令F(x)=f(x)sinx,顯然,F(x)在閉區(qū)間[0,π]上連續(xù),在開區(qū)間(0,π)內可導,且F(0)=F(π),故由羅爾定理知,在開區(qū)間(0,π)內至少存在一點ξ,使得F′(ξ)=0,而F′(ξ)=f′(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ,也就是說,在開區(qū)間(0,π)內至少存在一點ξ,使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。

    顯然,F(x)在閉區(qū)間[η,1]?[0,1]上連續(xù),在開區(qū)間(η,1)?(0,1)內可導,且F(η)=e-η2f(η),F(1)=e-1f(1),即F(η)=F(1),由羅爾定理知,在開區(qū)間(η,1)?(0,1)內至少存在一點ξ,使得F′(ξ)=0。

    又F′(ξ)=-2ξe-ξ2f(ξ)+e-ξ2f′(ξ)=e-ξ2[f′(ξ)-2ξf(ξ)],且e-ξ2≠0,故f′(ξ)-2ξf(ξ)=0。也就是說,在開區(qū)間(0,π)內至少存在一點ξ,使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。

    (二)證明的等式是關于f(ξ),f′(ξ),g(ξ),g′(ξ)的微分方程

    例2[5]:設f(x)和g(x)在上[a,b]連續(xù),在(a,b)內可導,且f(a)=f(b)=0,g(x)≠0證明在(a,b)內至少存在一點ξ使得f′(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g′(ξ)=0。

    證明:令F(x)=f(x)g2(x),顯然,F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內可導,且F(a)=F(b),故由羅爾定理知,在開區(qū)間(a,b)內至少存在一點ξ,使得F′(ξ)=0,而F′(ξ)=g(ξ)[f′(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g′(ξ)],又g(x)≠0,故在開區(qū)間(0,π)內至少存在一點ξ,使得f′(ξ)g(ξ)+2f(ξ)g′(ξ)=0。

    應用實例:若函數f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù),在開區(qū)間(0,1)內可導,并且f(0)=0,如果x∈(0,1),f(x)≠0,證明在(0,1)內至少存在一點ξ使得f′(ξ)f(1-ξ)=f(ξ)f′(1-ξ)。

    二、利用一階線性方程的通解構造輔助函數

    應用實例:設f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內可導,且f(a)=f(b)=0,則在(a,b)內至少存在一點ξ,使得2f(ξ)=f′(ξ)。

    證明:令F(x)=e-2xf(x),顯然,F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內可導,且F(a)=F(b)=0,故由羅爾定理知,在開區(qū)間(a,b)內至少存在一點ξ,使得F′(ξ)=0,而F′(ξ)=-2e-2ξf(ξ)+e-2ξf′(ξ)=e-2ξ[-2f(ξ)+f′(ξ)],又e-2ξ≠0,故在(a,b)內至少存在一點ξ,使得2f(ξ)=f′(ξ)。

    例5:若函數f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù),在開區(qū)間(0,1)內可導,且f(0)=f(1)=2,證明在(0,1)內至少存在一點ξ使得f′(ξ)+f(ξ)=2。

    證明:令F(x)=ex[f(x)-2],F(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù),在開區(qū)間(0,1)內可導,且F(0)=F(1)=0,故由羅爾定理知,在開區(qū)間(0,1)內至少存在一點ξ,使得F′(ξ)=0。而F′(ξ)=eξ[f(ξ)-2]+eξf′(ξ)=eξ[f(ξ)+f′(ξ)-2],又eξ≠0,故在(0,1)內至少存在一點ξ,使得f′(ξ)+f(ξ)=2。

    在利用一階線性方程的通解公式構造輔助函數時,一定要仔細觀察中值等式的特點,找到P(x),Q(x),求出通解。

    三、利用降階的思想構造輔助函數

    (一)利用可降階方程降階一次后得到的解構造輔助函數

    形如y″=f(x,y′)的方程稱為不顯含y的可降階微分方程[6],該方程的特點是方程中同時含有y′,y″,且不顯含y。在計算時可令y′=p(x),則y″=p′(x),原方程可化為一階方程p′=f(x,p),利用分離變量法或一階線性齊次方程的通解公式可得φ(x,p)=C,從而可構造出輔助函數。

    例6:設函數f(x)在[0,1]上二階連續(xù)可導,且f(0)=f(1)=2,證明:至少有一點ξ∈(0,1),使得2f′(ξ)+ξf″(ξ)=0。

    證明:由于函數f(x)在[0,1]上二階連續(xù)可導,故f(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù),在開區(qū)間(0,1)內可導,并且f(0)=f(1)=2,故由羅爾定理知,至少存在一點η∈(0,1),使得f′(η)=0。對F(x)=x2f′(x),在[0,η]上連續(xù),在(0,η)內可導,且F(0)=F(η)=0,再次利用羅爾定理,可證至少有一點ξ∈(0,η)?(0,1),使得2f′(ξ)+ξf″(ξ)=0。

    (二)利用分部積分法構造輔助函數

    例7 設f(x)和g(x)在上[a,b]連續(xù),在(a,b)內可導,在(a,b)內g(x)≠0,g″(x)≠0,且f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,證明在(a,b)內至少存在一點ξ使得f″(ξ)g(ξ)-f(ξ)g″(ξ)=0。

    分析:該微分中值等式屬于二階微分方程,但只含有兩個函數的二階導數f″(x),g″(x),不含f′(x),g′(x),為了使用降階的思想

    f″(x)g(x)=f(x)g″(x)

    兩邊同時對x積分,得:

    證明 令F(x)=f′(x)g(x)-f(x)g′(x),顯然,F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內可導,且F(a)=F(b)=0,故由羅爾定理知,在開區(qū)間(a,b)內至少存在一點ξ,使得F′(ξ)=0,而F′(ξ)=f″(ξ)g(ξ)-f(ξ)g″(ξ),故在(a,b)內至少存在一點ξ,使得f″(ξ)g(ξ)-f(ξ)g″(ξ)=0。

    以上分析了羅爾定理證明微分中值等式問題的幾個典型例題,都是從導數和積分的互逆性出發(fā),通過微分方程求解的方法或不定積分法等逆向思維法構造輔助函數。在平常的教學過程中,可以借助此類題型提高學生的邏輯思維能力和逆向思維能力,逐步培養(yǎng)學生綜合應用微積分知識解決實際問題的能力。

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