有限覆蓋定理在若干數(shù)學命題證明中的應用①

強 華，周 虎

(銀川能源學院基礎部，寧夏 銀川750105)

0 引 言

有限覆蓋是數(shù)學學科中的一個基礎性概念.它涉足數(shù)學分析，實分析與泛函分析，拓撲學等數(shù)學各領域.

1 有限覆蓋、有限覆蓋定理

有限覆蓋:設S 為直線上的點集，Σ 是一開區(qū)間集族(即Σ 的每個元素都是形如(α，β)的開區(qū)間).若S 中的任何一點都含在Σ 中至少一個開區(qū)間內(nèi)，則稱Σ 為點集S 的一個開覆蓋，或者說Σ 覆蓋.S 若Σ 中的開區(qū)間的個數(shù)是無限的，則稱Σ 為S的一個無限開覆蓋，若Σ 中的開區(qū)間的個數(shù)是有限的，則稱Σ 為S 的一個有限開覆蓋.例如，覆蓋區(qū)間(0，1);

H*是［0，2］的一個無限覆蓋，但不是開覆蓋，由此也無法產(chǎn)生［0，2］的有限覆蓋.

有限覆蓋定理(又稱Heine－Borel 定理，緊致性定理):若Σ 為閉區(qū)間［a，b］的一個開覆蓋，則在Σ 中必存在有限個開區(qū)間，它們構(gòu)成［a，b］上的一個開覆蓋.(此定理也可以簡單地表述為:一個閉區(qū)間的任何一個開覆蓋中一定有這個閉區(qū)間的有限子覆蓋.)

此定理說明，實數(shù)空間R 的子集A 是一個有界閉集當且僅當A 的每一個開覆蓋都有有限子覆蓋.

圖1

2 有限覆蓋定理的應用

有限覆蓋定理主要用于對某些數(shù)學命題的證明上.

例1 若f(x)在［a，b］上只有第一類不連續(xù)點，證明f(x)在［a，b］上有界.

證明 取一點x0∈［a，b］，則x0為f(x)的連續(xù)點或為第一類不連續(xù)點.因此f(x0+0)，f(x0-0)都存在.從而，存在，使，使得當x時，;當x時，

例2 若f(x)在［a，b］上連續(xù)，且f(a)·f(b)＜0，則存在c ∈(a，b)，使得f(c)=0.

證明 用反證法.假設f(x)在(a，b)內(nèi)沒有零點，由連續(xù)函數(shù)的保號性，對于任意一點x ∈［a，b］總存在一個鄰域U(x)，使得當x ∈U(x)∩［a，b］時，f(x)恒大于零或恒小于零.現(xiàn)讓x 取遍［a，b］的值，就得到一個開區(qū)間集H={U(x)|x∈［a，b］}.顯然，H 為［a，b］上的一個開覆蓋.由有限覆蓋定理，在H 中含有一個有限個開區(qū)間的集合Σ={U(xk)|k=1，2，…，n}覆蓋［a，b］，且x1＜x2＜…＜xn，a ∈U(x1)，b ∈U(xn).不妨設f(a)＞0，則由f(x)在U(x1)上的保號性得知，當x ∈U(x1)時，f(x)＞0.取a1∈U(x1)∩U(x2)，則f(a1)＞0.由于f(x)在U(x2)上保號，所以，當x ∈U(x2)時，有f(x)＞0.依此類推得，當x ∈U(xn)時，有f(x)＞0，從而，f(b)＞0.這就與f(a)·f(b)＜0 矛盾.故一定存在c ∈(a，b)，使得f(c)=0.

例3 證明:若一組開區(qū)間{In}，In= (an，bn)，n=1，2，…覆蓋區(qū)間［0，1］.則存在一正數(shù)δ，使得［0，1］中任何兩點x′，x″，滿足|x′-x″|＜δ時，必屬于某一區(qū)間In.

證明 因為區(qū)間組{In}覆蓋區(qū)間［0，1］，由有限覆蓋定理，必存在有限個開區(qū)間In也覆蓋［0，1］，不失一般性，設這組開區(qū)間為I1，I2，…，Im.

若I1∩(如圖所示).

令J1=(a1，a2)，J2=(a2，b2)，J3=(b1，b2).那么I1，I2，…，Im中只要兩個開區(qū)間的交非空，就可以產(chǎn)生一串{Jk}.由于I1，I2，…，Im為有限多個，因此{Jk}也是有限個，不妨設J1，…，Js.為再記這些開區(qū)間(cn，dn)長為|In|，即|In|=dn-cn.

那么，令δ=min{|I1|，…，|Im|，|J1|，…，|Js|，}則δ ＞0.當x′，x ∈［0，1］且|x′-x″|＜δ 時，顯然存在Ik，1 ≤k ≤m，使x′，x″∈Ik.

同理利用有限覆蓋定理可證明以下常見數(shù)學命題:

(1)若f(x)在［a，b］連續(xù)，則f(x)在［a，b］一致連續(xù).

(2)若函數(shù)f(x)在［a，b］連續(xù)，且?x ∈［a，b］，有f(x)＞0 則?r ＞0，?x ∈［a，b］，有f(x)＞r.

(3)設函數(shù)f(x)在［0，+∞)上一致連續(xù)，且?x ＞0，有=0(n 為正整數(shù)).則

(4)f(x)是閉區(qū)間［a，b］上的函數(shù)，滿足條件:對每一點x0∈［a，b］，任取ε ＞0，有δ ＞0，對一切x ∈［a，b］∩(x0-δ，x0+δ)，有f(x)＜f(x0)+ε 成立.則:f(x)有最大值.

3 結(jié) 語

有限覆蓋定理是一個有用而且重要的定理.它是數(shù)學分析處理問題的一種重要方法，在數(shù)學各領域中都有廣泛的應用.有限覆蓋定理的作用是從覆蓋閉區(qū)間的無限個開區(qū)間中能選出有限個開區(qū)間也覆蓋這個閉區(qū)間.由“無限轉(zhuǎn)化為有限”是質(zhì)的變化，它對證明函數(shù)的某些性質(zhì)提供了新的數(shù)學方法.

［1］ 劉士強，劉銳，孫渭濱，等.數(shù)學分析:下冊［M］.南寧:廣西民族出版社，2000，6:365－425.

［2］ 胡雁軍，李育生，鄧聚成，等.數(shù)學分析中的證題方法與難題選解［M］.鄭州:河南大學出版社，1987，8:153－160.

［3］ 劉玉璉，楊奎元，呂鳳，等.數(shù)學分析講義學習指導書［M］.第3 版.北京:高等教育出版社，2003，12.