兩類三角平均的Schur凸性*

張　帆 , 張益池

(湖州職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 浙江　湖州　313000)

1　引言

設(shè)a,b∈+,則稱為兩個(gè)正數(shù)a,b的算術(shù)平均，Gh.Toader和J.Sádor在文獻(xiàn)[1]中提出了有關(guān)兩個(gè)正實(shí)數(shù)a,b的三角平均：

當(dāng)a≠b時(shí)，

(1)

(2)

當(dāng)a=b時(shí)，Msin(a,b)=Mtan(a,b)=a。并給出不等式：Msin(a,b)

文獻(xiàn)[2]討論了Msin(a,b),Mtan在[0,π/2]上的Schur凸性，并加細(xì)了上述不等式，其結(jié)果是：對(duì)于a,b∈[0,π/2]，a≤b，有：

本文類比文獻(xiàn)[2]，定義如下兩個(gè)新的三角平均：當(dāng)a≠b時(shí)，

(3)

(4)

當(dāng)a=b時(shí)，Mcos(a,b)=Mcot(a,b)=a。

本文根據(jù)凸函數(shù)理論，證明Mcos在[0,π/2],上是Schur凸函數(shù)，Mcot(a,b)在,[0,π/2],上是Schur凹函數(shù)，并由此給出一個(gè)新的不等式鏈。

2　定義和引理

為證明本文的主要結(jié)果，需要如下定義和引理：

對(duì)于x=(x1,x2,…xn)∈n將x的分量遞減重排后，記作x[1]≥x[2]≥…≥x[n]，并用x≤y表示xi≤y1,i=1,2,…,n。

定義1[3]設(shè)x,y∈滿足：

定義2[3]設(shè)Ω?n，φ:Ω→R。

(1)若在Ω上x≤y?φ(x)≤φ(y)，則稱φ為Ω上的增函數(shù)；若-φ是Ω上增函數(shù)，則稱φ為Ω上的減函數(shù)；(2)若在Ω上xy?φ(x)≤φ(y)，則稱φ為Ω上的Schur凸函數(shù)；若-φ是Ω上Schur凸函數(shù)，則稱φ為Ω上的Schur凹函數(shù)。

引理1[3]設(shè)Ω?n是有內(nèi)點(diǎn)的對(duì)稱凸集，φ:Ω→φ在Ω上連續(xù)，在Ω的內(nèi)部Ω0可微，則φ在Ω上Schur凸(凹)的充要條件是φ在Ω上對(duì)稱且對(duì)任意x∈Ω0，有：

3　主要結(jié)果及其證明

定理1Mcos(a,b)在[0,π/2]上是Schur凸函數(shù)。

即

(5)

不妨設(shè)F(x)=sin2x，易證F(x)在[0,π/2]上為凹函數(shù)，由Hadamard不等式[5]：

(6)

根據(jù)引理1可得Mcos(a,b)在[0,π/2]上是Schur凸函數(shù)。

定理2在Mcot(a,b)在[0,π/2]上是Schur凹函數(shù)。

(7)

下面證明：f(a,b)≤0

(8)

不妨設(shè)G(x)=cotx，易證G(x)在[0,π/2]上為凸函數(shù)，由Hadamard不等式[5]：

即證：

這是顯然的,結(jié)論(8)式成立。

推論對(duì)于a,b∈[0,π/2],a≤b，有

參考文獻(xiàn)：

[1] Gh.Toader，J.Sádor.Inequalities for general integral means[J].Joumal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics,2006(1):13.

[2] 姜衛(wèi)東.兩個(gè)三角平均的schur凸性[J].高等數(shù)學(xué)研究,2008,11(2): 46-47.

[3] 王伯英.控制不等式基礎(chǔ)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,1990:59-61.

[4] 李大矛,顧春,石煥南.Heron平均冪型推廣的Schur凸性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2006,36(9):387-390.

[5] 匡繼昌.常用不等式(第四版)[M].濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2010:430.