參數(shù)不等式系統(tǒng)解集的閉性性質(zhì)

摘要：借助函數(shù)的連續(xù)性以及凸性性質(zhì)，結(jié)合Slater約束品性條件，建立了參數(shù)不等式系統(tǒng)解集的相關(guān)閉性性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：參數(shù)不等式系統(tǒng);Slater約束品性;連續(xù)性;凸性

定理：考慮參數(shù)不等式系統(tǒng)，其中，均為實(shí)值函數(shù)且參數(shù)。我們記向量并且上述不等式系統(tǒng)的解集為。假設(shè)上述參數(shù)不等式系統(tǒng)的Slater約束品性成立，即是說(shuō)，，則以下結(jié)論成立：

（1）若均為連續(xù)函數(shù)，則有。

（2）若均為凸函數(shù)，則有，由此可得。

證明：（1）任取，由可知，存在序列，使得。因此，我們有。

注意到，均為連續(xù)函數(shù)。在不等式兩邊取極限可得，，即是說(shuō)，。因此，由的任意性，我們有。

（2）任取，因?yàn)?，所以，不妨設(shè)。因此，我們有且。

注意到，均為凸函數(shù)。因此，對(duì)任意的，有

即是說(shuō)，。注意到，當(dāng)時(shí)，，

因此，我們有。由的任意性可知，。此外，由于均為凸函數(shù)，因此，也是連續(xù)函數(shù)，結(jié)合（1）可知，。

參考文獻(xiàn)：

[1]Rockafellar， R.T. Convex Analysis[M]. Princeton University Press， 1970.

[2]Fukushima， M.著; 林貴華譯. 非線性最優(yōu)化基礎(chǔ)[M]. 科學(xué)出版社， 2011.

作者簡(jiǎn)介：彭興媛，1985.12，女，漢族，碩士，講師，概率統(tǒng)計(jì)，成都市外東十陵成都大學(xué)。