橢圓與拋物偏微分方程解的凸性

麻希南

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230026)

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橢圓與拋物偏微分方程解的凸性

麻希南

(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230026)

我們給出橢圓與拋物偏微分方程解或其水平集的凸性的一個(gè)文獻(xiàn)綜述.從三個(gè)經(jīng)典例子開始，然后介紹凸性研究的常用方法，最后給出幾個(gè)定量估計(jì)，其中注重與我個(gè)人研究有關(guān)的結(jié)果.

偏微分方程解的凸性； 偏微分方程解的水平集的凸性； 常秩定理； 凸性定量估計(jì)

1 凸性的研究歷史：三個(gè)經(jīng)典例子

長久以來偏微分方程解的幾何性態(tài)是偏微分方程研究的重要課題之一，橢圓與拋物偏微分方程解或其水平集的凸性是重要的研究對象.凸性除了本身具有幾何意義之外，它與方程解的正則性、存在性以及唯一性都有緊密的聯(lián)系.我們從有關(guān)的三個(gè)例子開始談起.

例1 凸區(qū)域上Green函數(shù)的水平集的凸性.

Caratheodory[2]于1920年代給出了二維凸區(qū)域的Green函數(shù)的水平集的凸性.在1931年，Gergen[29]證明了三維歐氏空間中星形區(qū)域的Green函數(shù)的水平集也是星形的.1956年，Shiffman[76]給出了有關(guān)水平集凸性的第一個(gè)明確的結(jié)果.對于3中兩條曲線所界定的參數(shù)極小曲面，當(dāng)該兩條邊界曲線分別是兩平行平面上的凸曲線時(shí)，Shiffman用復(fù)分析的方法證明了中間平行平面與極小曲面的截線是嚴(yán)格凸的，進(jìn)而還可知該極小曲面是嵌入的.Shiffman的結(jié)論對極小曲面的研究有重要的意義，后來亦導(dǎo)致了相應(yīng)的Douglas-Plateau問題的完全解決.

1957年，Gabriel[28]首先證明三維歐氏空間有界凸區(qū)域上Green函數(shù)的水平集是嚴(yán)格凸的.1977年，Lewis[58]推廣Gabriel的定理到高維p-調(diào)和函數(shù)并得到以下定理

定理1.1(Gabriel[28]和Lewis[58]) 令u滿足

(1.0.1)

這里1

其思想方法是引時(shí)如下的“凹性函數(shù)”：

顯然，u的水平集是凸的充要條件是Q(x,y)≥0,?(x,y)∈Ω×Ω.在證明水平集嚴(yán)格凸性時(shí)他們利用調(diào)和函數(shù)的實(shí)解析性.我們?yōu)榱苏f明常秩定理的應(yīng)用方法，在第四章給出Korevaar[55]的關(guān)于調(diào)和函數(shù)時(shí)此定理的新證明.

例2 Makar-Limanov[65]在1971年研究了如下邊值問題：

(1.0.2)

例3 1976年，Brascarmp-Lieb[12]，他們通過研究熱方程

(1.0.3)

其中Ω為有界凸區(qū)域，u0是邊界上為零的給定正函數(shù).當(dāng)logu0是凹函數(shù)時(shí)，他們證明了t>0，logu也是凹的(關(guān)于x).而且得到了歐氏空間中凸有界區(qū)域上的第一特征函數(shù)

(1.0.4)

的對數(shù)logu是凹函數(shù).從而也得到了第一特征值的關(guān)于區(qū)域的Brunn-Minkowski不等式，在[23]Colesanti得到Brunn-Minkowski不等式中的等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)凸區(qū)域是同位相似(homothetic).

后面兩個(gè)例子說明有時(shí)候偏微分方程的解本身不一定是凸的，但關(guān)于解的某個(gè)函數(shù)可能具有某種凸性(從而解的水平集也是凸的).以上是有關(guān)凸性研究的一些經(jīng)典事例，由此可以看到，偏微分方程解的凸性研究長久以來一直是人們所關(guān)心的重要話題.

2 偏微分方程解的凸性

2.1 橢圓方程解的凸性的宏觀方法：比較原理和凹包絡(luò)

當(dāng)某個(gè)偏微分方程的解本身是凸的時(shí)候，它的水平集自然是凸的，所以，證明偏微分方程的解凸性的方法也可以看作是證明水平集凸性的一種(間接)方法，這些思想方法之間是相互影響相互借鑒的.與Gabriel的凹性函數(shù)Q(x,y)相對應(yīng)，1983年Korevaar[53]在研究毛細(xì)管曲面方程的解的凸性時(shí)引進(jìn)如下凹性函數(shù)

φ(x,y,λ)=u(z)-λu(x)-(1-λ)u(y),

其中z=λx+(1-λ)y, 0≤λ≤1, ?x,y∈Ω.我們可以看出u為凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)在Ω×Ω中φ(x,y,λ)≤0. Korevaar[54]對一類半線性橢圓方程的解推出了關(guān)于上述凹性函數(shù)極值原理，由此得到解的凸性，他給出了Brascamp-Lied[12] 的歐氏空間中凸有界區(qū)域上的第一特征函數(shù)對數(shù)logu凹性的新證明,Caffarelli和Spruck[17]同時(shí)用類似的想法也給出它的新證明.最近兩點(diǎn)輔助函數(shù)被Andrews[4]用來給出平均曲率流中Sheng-Wang[74]Non Collapsing估計(jì)的新證明與Brendle[13]的子流行中有名的Lawson猜想證明.

Korevaar的凹性極值原理后來得到Kennington[51],Kawohl[50]和Greco Porru[30]等人的許多推廣和發(fā)展(可見Kawohl[49]及其參考文獻(xiàn)).Korevaar的凹性極值原理實(shí)際上是一種弱極值原理或比較定理，我們按Korevaar[55]稱它是凸性研究的宏觀方法.宏觀方法的進(jìn)一步發(fā)展是Alvarez-Lasry-Lions[3]，他們用凹包絡(luò)的方法證明了一類完全非線性橢圓方程在凸區(qū)域具有邊界限制下解的凸性.對于由Korevaar和Alvarez-Lasry-Lions等人推廣的凹性極值原理和凹包絡(luò)這種宏觀的方法，應(yīng)用起來有很多限制.例如它常常只能處理有界凸域(凸環(huán))的情形，在無邊情形或者流形上使用受到限制.另外，用宏觀的方法往往很難得到嚴(yán)格凸性或剛性，而嚴(yán)格凸性或剛性通常在解決幾何問題時(shí)經(jīng)常是起關(guān)鍵作用的.

2.2 橢圓方程凸解的微觀方法：常秩定理

除了上述宏觀的方法，也有利用強(qiáng)極值原理來研究偏分方程解的凸性，按Korevaar[55]我們稱它是微觀方法.它是利用強(qiáng)極值原理加上形變的思想或也稱連續(xù)性方法，并且已發(fā)展出一個(gè)強(qiáng)有力的工具——常秩定理.最早的文獻(xiàn)是Caffarelli-Friedman[14](也可見Singer-Wong-Yau-Yau[77]).常秩定理是用連續(xù)性方法來證明凸性問題的一個(gè)關(guān)鍵步驟.我們用第一章的例2來說明它的應(yīng)用過程.對以下方程

(2.2.1)

(2.2.2)

首先Caffarelli-Friedman[14]證明，對于任意區(qū)域Ω如果方程(2.2.2)的解v是凸函數(shù)，那么它的Hessian矩陣的秩在整個(gè)區(qū)域中是常數(shù).然后他們在區(qū)域是球B1(o)?2時(shí)證明相應(yīng)方程的解v是嚴(yán)格凸的(秩為二)，令Ωt=tΩ+(1-t)B1(o)，再將區(qū)域由球連續(xù)形變到凸區(qū)域Ω.若在形變過程中的某個(gè)時(shí)刻0

二維情形的常秩定理首先被Caffarelli-Friedman[14]得到，并成功應(yīng)用到解決2維凸區(qū)域上幾類半線性橢圓方程解的嚴(yán)格凸性和剛性問題.后來，Korevaar Lewis[56]把常秩定理推廣到高維情形，特別是應(yīng)用常秩定理，他們重新得到了方程(2.2.2)高維結(jié)果，并很算然地給出了嚴(yán)格凸性.

近年來，常秩定理陸續(xù)被應(yīng)用到來源于經(jīng)典微分幾何里的Christoffel Minkowski問題(Guan-Ma[34]，也見Hu-Ma-Shen[41])和預(yù)定Weingarten曲率問題所導(dǎo)致的完全非線性偏微分方程(Guan-Lin-Ma[32,33]和Guan-Ma-Zhou[35]).例如Guan-Ma[34]將常秩定理推廣到非線性橢圓方σk(uij+uδij)=f(x),x∈Sn(這里σk(uij+uδij)是球Hessian矩陣(uij+uδij)特征根的第k-階基本對稱多項(xiàng)式)，這里f(x)滿足一定的凸性條件.后來Caffarelli-Guan-Ma[15]把相應(yīng)的結(jié)論推廣到一類完全非線性橢圓方程

F(D2u)=f(x,u,Du),

這里F,f滿足某種凸性的結(jié)構(gòu)條件.Bian-Guan[6]把常秩定理推廣到更一般的一類完全非線性橢圓方程

F(x,u,Du,D2u)=0,

它要求函數(shù)F(x,u,Du,D2u)滿足某種凸性的結(jié)構(gòu)條件，可是在實(shí)際問題中往往很難去驗(yàn)證此類結(jié)構(gòu)條件.在Ma-Xu[68]和Liu-Ma-Xu[59]中，為了推廣例2與例3到高階σk(D2u)方程的對應(yīng)問題，他們研究一類三維凸區(qū)域上一類σ2(D2u)方程的解的凸性以及對應(yīng)的常秩定理.他們得到凸區(qū)域上一類非線性算子的特征值的Brunn-Minkowski不等式，并刻畫了等號(hào)成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)兩區(qū)域相差一平移和伸縮，是本領(lǐng)域中少有的典型的例子.最近Salani[72]給了凸性的新證明，但還是有3維的限制.

Han-Ma-Wu[38]研究以下問題：Poisson方程的解的Hessian矩陣的最小k個(gè)特征值之和何時(shí)是正的？其中k=1時(shí)即為Caffarelli-Friedman[14]和Korevaar-Lewis[56]，他們利用常秩定理得到一個(gè)充分條件，問題的困難是它所對應(yīng)的矩陣很大，它最后歸結(jié)為一個(gè)關(guān)于方程解的3階導(dǎo)數(shù)的有關(guān)量的一個(gè)組合問題.我們提到其它應(yīng)用如Wang-Xia[79]在利用幾何流去證明雙曲空間中等周不等式中時(shí)用到了常秩定理保住嚴(yán)格凸性，Guan-Li-Zhang[31]在Kahler幾何中應(yīng)用了常秩定理得到剛性問題.

2.3 拋物方程解的空間凸性與時(shí)空聯(lián)合凸性

首先我們關(guān)心研究拋物方程解凸性的概率方法.

Brascamp-Lieb[12]利用Brownian運(yùn)動(dòng)中的Feymann—Kac公式研究了拋物方程的解對于空間變量的凸性，他們證明如果初值滿足logu0是凹函數(shù)時(shí)，則對?t>0，logu關(guān)于空間變量x也是凹的.對于Brownian運(yùn)動(dòng)的技術(shù)在拋物方程凸性的應(yīng)用，Borell[9-11]有各種情形的推廣，例如Borell對于具Schr?dinger位勢的拋物方程，他研究其解的時(shí)空凸性從而給出Brascamp-Lieb[12]定理的新證明以及Brunn-Minkowski不等式的Brownian運(yùn)動(dòng)證明.他的論文對拋物方程解或水平集的時(shí)空聯(lián)合凸性有重要影響.

拋物方程解凸性的宏觀方法.

Korevaar[54]和Kennington[52]也有相應(yīng)兩點(diǎn)輔助函數(shù)的凹性函數(shù)極值原理在空間凸性與時(shí)空聯(lián)合凸性的推廣與應(yīng)用.相關(guān)凹包絡(luò)的技巧在拋物偏微分方程關(guān)于研究解得空間凸性與時(shí)間聯(lián)合凸性的推廣見Ishige-Salani[45]與[46]，以及Ishige-Nakagawa-Salani[47]在拋物偏微分方程組的時(shí)空聯(lián)合凸性以及在對應(yīng)橢圓方程組的應(yīng)用.但是在Ishige-Salani[45]的工作中他們往往要求拋物偏微分方程的初值條件是零函數(shù)，這是一個(gè)很大的限制.

拋物方程解凸性的微觀方法.

在論文[6，15]中，他們研究了非線性拋物方程解的Hessian矩陣對于空間變量的常秩性質(zhì)，[6]也研究超曲面幾何流的保住凸性.受Borell[10]的啟發(fā)，Hu-Ma[39]對一類拋物偏微分方程其凸解的時(shí)空Hessian矩陣的常秩性，并且證明Borell[10]中的時(shí)空凸解具有常秩性.然后Chen-Hu[20]他們簡化了[39]中的計(jì)算，對于一類完全非線性拋物方程得到其凸解的時(shí)空Hewssian矩陣的常秩性.這類技巧在拋物方程水平集凸性的研究中有重要應(yīng)用.

2.4 凸性研究的其它方法與技巧以及應(yīng)用

3 偏微分方程解水平集的凸性

3.1 橢圓方程解水平集凸性研究的宏觀方法：凹性極值原理和凹包絡(luò)

我們在凸性的研究歷史中已經(jīng)知道Gabriel[28]和Lewis[58]研究了凸區(qū)域的Green函數(shù)的水平集的凸性.Caffarelli-Spruck[17]推廣Gabriel的方法得到凸環(huán)上半線性橢圓方程

解的水平集為凸的.其中Ω0以及Ω1是n中的凸區(qū)域，且滿足1?Ω0,f(0)=0,f(t)是非負(fù)單調(diào)遞增函數(shù).事實(shí)上，利用定理?xiàng)l件可證明解在凸環(huán)上滿足|▽u|>0.

將u延拓，使得在Ω1在u=1.然后定義凹性函數(shù)

在2003年，Colesanti-Salani[24]利用擬凹包絡(luò)研究了凸環(huán)上擬線性方程在一定結(jié)構(gòu)條件下水平集的凸性.最近Bianchini-Longinetti-Salani[8]中用擬凹包絡(luò)的辦法證明了凸環(huán)上完全非線性方程在一定結(jié)構(gòu)條件下水平集的凸性.

先描述一下函數(shù)u的擬凹(Quasiconcave)包絡(luò)的概念.函數(shù)u為上半連續(xù)函數(shù)，用u*表示u的擬凹包絡(luò)，粗略地說，擬凹包絡(luò)u*是其上水平集為u的上水平集的閉凸包的上半連續(xù)函數(shù).具體地說，記Ω(t)為u在t處的上水平集，即

Ω(t)={x∈n|u(x)≥t}

用Ω*(t)表示其凸包的閉包.u*可以定義為

Ω*(t)=sup{t∈|x∈Ω(t)}

由于u*為比u大的最小的上半連續(xù)擬凹函數(shù)，從而有u*≥u.只要證明反過來的不等式成立，利用u*的擬凹性，則知道水平集為凸的.從而，若假設(shè)u是橢圓方程的下解，且方程滿足比較原理，此時(shí)即有相反的不等式成立.具體地說，[8]證明了下面的定理：

設(shè)Ωt0和Ωt1為n中的有界開子集，滿足t1?Ωt0，記凸環(huán).設(shè)為下列Dirichlet問題的經(jīng)典允容許解，

其中t0

(i) |Du|≠0于Ω;

(ii)F(x,t,p,A)關(guān)于t單調(diào)遞減；

(iii)F(x,t,p,A)是退化橢圓的，即F(x,t,p,A)≤F(x,t,p,B)，對任意地稱矩陣A,B,且A-B為正定矩陣；

(iv) 存在α∈，對任意的(t,θ)∈(t0,t1)×Sn-1，函數(shù)在Ωt0×(0,+∞)×ΓF(這里ΓF為對稱矩陣)上為凹函數(shù).

則擬凹包絡(luò)u*為該Dirchlet問題的粘性下解.Longinetti-Salani[63]中利用支撐函數(shù)建立了一組擬凹函數(shù)水平集曲率的關(guān)系式對該定理的證明起了關(guān)鍵作用.

3.2 橢圓方程解水平集凸性研究的微觀方法：常秩定理

類似于研究解本身的凸性，也可從微觀角度應(yīng)用常秩定理研究水平集的凸性.受Caffarelli-Friedman[14]和Korevaar-Lewis[56]的啟發(fā)，Korevaar[55]建立了p-調(diào)和函數(shù)的凸水平集的第二基本形式的常秩定理，然后利用形變過程加上先驗(yàn)估計(jì)就得到了Gabriel[28]和Lewis[58]定理的新證明.我們在凸環(huán)上調(diào)和函數(shù)水平集的嚴(yán)格凸性將給出Korevaar[55]關(guān)于調(diào)和函數(shù)的證明(也見[7]).他對于平均曲率方程也有相應(yīng)的常秩定理，所以他得到對于凸環(huán)上具有齊次Dirichlet邊界條件的極小圖，則其水平集是嚴(yán)格凸的.Xu[83]推廣Korevaar[55]的常秩定理到一類線性橢圓方程.我們已經(jīng)知道Bianchini-Longinetti-Salani[8]中用擬凹包絡(luò)的辦法證明了凸環(huán)完全非線性橢圓方程在一定結(jié)構(gòu)條件下水平集的凸性，對應(yīng)于此類方程的常秩定理，Bian-Guan-Ma-Xu[7]和Guan-Xu[36]證明[8]的凸水平集是嚴(yán)格凸的.前面我們巳經(jīng)提到Shiffman[76]的參數(shù)極小曲面在一定條件下其水平集的嚴(yán)格凸性，為了得到其高維參數(shù)極小曲面對應(yīng)的推廣，Hu-Ma-Ou[40]給出了n中預(yù)定平均曲率的浸入超曲面凸水平集第二基本形式的常秩定理，但是對應(yīng)的形變過程至目前沒有找到.

3.3 拋物方程解的水平集研究的宏觀與微觀方法

我們研究拋物方程的類似問題，即如何在給定初始條件，邊值和區(qū)域的幾何條件下，我們有對解的更好的幾何認(rèn)識(shí).例如人們期望在一定條件下能夠得到對任意給定時(shí)間，解對空間變量的凸性或水平集的凸性.或是否具有某種對于時(shí)間變量和空間變量的聯(lián)合凸性.我們已經(jīng)知道Bracamp-Lieb對于熱方程，在凸區(qū)域并齊次邊界Dirichlet條件，他們證明如果初值函數(shù)的對數(shù)為凹函數(shù)，那么對任意時(shí)間，解的對數(shù)函數(shù)對空間變量是凹的.我們先給出幾個(gè)定義.我們回憶函數(shù)v:m→∪{-∞}在m(m∈)為擬凹或水平集是凸的(quasiconcave)，如果它的所有上水平集{y∈m∶v(y)≥c}是凸的.如果v只在真子集A?m上有定義，我們在A外令它等于-∞，我們稱v在A中是擬凹的如果在m這種延拓在m上是擬凹的.

u((1-λ)x0+λx1,t)≥min{u(x0,t),u(x1,t)},

(3.3.1)

對?x0,x1∈Ω0,λ∈(0,1)以及所有固定的t≥0.

類似的，u是時(shí)空擬凹(spatially-time quasiconcave)如果

u((1-λ)x0+λx1,(1-λ)t0+λt1)≥min{u(x0,t0),u(x1,t1)},

(3.3.2)

顯然，如果函數(shù)是時(shí)空擬凹(或時(shí)空水平集凸，spatially-time quasiconcave)，則對于每一個(gè)因定的時(shí)間它是空間擬凹的.

在1982年，Borell[9]利用Brownian運(yùn)動(dòng)的Feymann-Kac公式和Gabriel[28]與Lewis[58]技巧的拋物對應(yīng)，考慮了在凸環(huán)上給定常數(shù)邊值的初邊值問題.他得到如果初值是零函數(shù)，則熱方程解的水平集是時(shí)空聯(lián)合凸，即他研究

(3.3.3)

對于以下初邊值問題

(3.3.4)

他得到以下定理

在2010和2011，Ishige-Salani[43,44]給出了上述Borell定理的一個(gè)新證明，他們推廣到一類完全非線性拋物方程，并且他們引進(jìn)拋物擬凹的概念.他們有一個(gè)很強(qiáng)的條件即初值必須為零函數(shù).但是Ishige-Salani[42]在2008年的給出例子說明，即使對于熱方程如果初始值的水平集是凸的，則不能保證得到解對空間變量的水平集的凸性.所以自然的問題使我們要對初值加何種幾何分析條件，使得具有解對空間變量水平集的凸性？在Chen-Ma-Salani[21]中我們得到以下結(jié)果.

(3.3.5)

注3.4 上面定理的初值條件u0出現(xiàn)的Diaz-Kawohl([26]和[27])中，并且初值u0(x)滿足所需條件的存在性是知道的(如可以取Δu0≡1 inΩ,可以見[8]).從[27]知道，初值(3.3.5)保證

ut>0, |Δu|>0 inΩ×(0,+∞).

(3.3.6)

它對于我們定理的證明是關(guān)鍵的.

我們通過一個(gè)形變過程加上以下的熱方程解的時(shí)空凸水平集第二基本形式的常秩定理證明以上定理.現(xiàn)在我們敘述熱方程解的時(shí)空凸水平集第二基本形式的常秩定理.

上面常秩定理的證明非常復(fù)雜，因?yàn)槲覀冃枰獙τ趻佄锓匠探r(shí)空凸水平集第二基本形式的常秩定理，此時(shí)我們利用[39]以及Chen-Hu[20]的簡化計(jì)算并推廣到時(shí)空水平集.我們?yōu)榱苏f明常秩定理的應(yīng)用方法，我們在下一節(jié)來詳細(xì)給出Korevaar[55]的關(guān)于調(diào)和函數(shù)的Gabriel[28]和Lewis[58]定理的新證明.

3.4 橢圓方程解的水平集凸性的幾個(gè)反例

偏微分方程解的水平集的凸性是非常敏感的一個(gè)問題，除了我們前面的正面結(jié)果，我們敘述最近的兩個(gè)反例.一個(gè)是Wang[82]關(guān)于常平均曲率方程的反例，另一個(gè)是Hamel-Nadirashvili-Sire[37]對于半線性橢圓方程的反例.

汪徐家關(guān)于常平均曲率方程的反例.

很長一段時(shí)間以來人們對例2的平均曲率方程的推廣是否成立很感興趣.問題可以敘述如下.令Ω為n(n≥2)中具有光滑邊界?Ω的有界凸區(qū)域.H是給定的正常數(shù)，如果u為下常平均曲率方程的解，問題是u的水平集是否為凸？

(3.4.7)

汪徐家[82]通過rescaling技巧，找到了一類凸區(qū)域使得解在邊界附近的地方水平集有曲率非正點(diǎn).

Hamel--Nadirashvili-Sire[37]關(guān)于半線性隨圓方程的反例.

在我們凸性的研究歷史的三個(gè)例子都是特別簡單的方程，稍微一般的具有正面的例子是Caffarelli-Spruck[17]得到的特殊半線性方程.[37]中他們對于一類特別的有界凸區(qū)域Ω與一般的方程

他們得到了上水平集非凸的解.類似地他們[37]找到凸環(huán)上一類半線性橢圓方程

解的上水平集為非凸的.

4 凸環(huán)上調(diào)和函數(shù)水平集的嚴(yán)格凸性

我們?yōu)榱苏f明常秩定理的應(yīng)用方法，我們現(xiàn)在來詳細(xì)給出Korevaar[55]的關(guān)于調(diào)和函數(shù)的Gabriel[28]和Lewis[58]定理的新證明.

4.1 函數(shù)u(x)水平集的曲率矩陣

在這一節(jié)，我們首先給出水平集凸性的簡要定義，然后推出函數(shù)的水平集曲率矩陣(aij).該矩陣在([16]和[7])的文章中出現(xiàn)，其特征值即是函數(shù)水平集的主曲率.

現(xiàn)在給出函數(shù)u的水平集的定義.設(shè)Ω為n的區(qū)域，并且u∈C2,α(Ω),0<α<1，其水平集通常按下面的方式定義為：

定義4.1 假設(shè)在Ω上，u的梯度|Du|≠0,則u通過x0∈的水平集記為Σu(x0)∶={x∈|u(x)=u(x0)}.

以后在滿足|Du(x0)|≠0的點(diǎn)x0處進(jìn)行計(jì)算.在此特殊情形下描述水平集Σu(x0)的凸性.不失一般性，假設(shè)un(x0)≠0并且在x0附近的小鄰域內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，利用隱函數(shù)定理，水平集Σu(x0)局部地可以表示為xn=v(x′),x′=(x1,x2,…,xn-1)∈n-1的圖.對函數(shù)u(x1,…,xn-1,xn)∈C2(Ω)，存在函數(shù)v(x′)滿足方程

u(x1,x2,…,xn-1,v(x1,x2,…,xn-1))=u(x).

(4.1.1)

下面把曲率矩陣(aij)用函數(shù)u的導(dǎo)數(shù)來表示，計(jì)算在Σu(x0)∶={x∈Ω|u(x)=u(x0)}的局部上進(jìn)行并且假設(shè)un(x0)≠0.對稱曲率矩陣{aij}為

(4.1.2)

以下引入記號(hào)

(4.1.3)

以及

Aij∶=-hij+Bij-Cij.

(4.1.4)

此時(shí)u的水平集的對稱曲率矩陣可寫成

(4.1.5)

我們要用到一個(gè)引理

引理4.4[6,21]設(shè)對于x∈Ω?n，有W(x)=(Wij(x))≥0并且Wij(x)∈C1,1(Ω).則對于O??Ω，存在一個(gè)正常數(shù)C，只依賴Hausdorff距離dist{O,?Ω}和‖W‖C1,1(Ω)，使得

(4.1.6)

對于?x∈Ω以及1≤i,j≤n.

4.2 調(diào)和函數(shù)u(x)凸水平集的常秩定理

我們考慮方程

(4.2.7)

|▽u(x)|=un(x)>0 和 {uij}1≤i,j≤n-1在點(diǎn)x點(diǎn)對角.

(4.2.8)

不失一般性我們假設(shè)u11≤u22≤…≤un-1 n-1.因此在x∈O,由(4.1.5)，矩陣{aij}是對角并且a11≥a22≥…≥all>C.則G={1,…,l}和B={l+1,…,n-1}(“好”和“壞”的指標(biāo)集).我們也假設(shè)

G={a11,…,all},B={al+1 l+1,…,an-1 n-1}.

(4.2.9)

令

φ(x)=σl+1(aij).

(4.2.10)

利用[14]和[56]的術(shù)語，如果h和g為O中的兩個(gè)連續(xù)函數(shù)，我們記hg，如果存在兩個(gè)正常數(shù)C1和C2它們只依賴于‖u‖C4,n(獨(dú)立于x)，使得(h-g)(x)≤(C1φ+C2|▽φ|)(x), ?x∈O.我們也記h～g如果hg和gh.

對于x∈O，在(4.2.8)我們選取坐標(biāo)系使得|▽u|=un>0并且矩陣{aij(x)}對角非負(fù).從φ的定義，我們有

所以

aii～0, ?i∈B.

(4.2.11)

以及

故

hii～0,uii～0, ?i∈B.

(4.2.12)

對φ求一階導(dǎo)數(shù)

從而

(4.2.13)

故

(4.2.14)

對φ求二階導(dǎo)，從(4.2.11)和(4.2.13)得到

(4.2.15)

這里我們已經(jīng)用下列不等式(見引理4.4)：

因?yàn)閡k=0,k=1,…,n-1， 從(4.1.5)

和

故有

這里

對i∈G，j∈B，得到

所以

(4.2.16)

利用

φ(x)≥0,x∈O,φ(x0)=0,

(4.2.17)

由強(qiáng)極值原理我們有

φ(x)=σl+1(aij)≡0,x∈O.

(4.2.18)

由解的連續(xù)性得到a(x)在Ω達(dá)到極小秩l之點(diǎn)集的閉性，從而定理4.5成立.

4.3u(x)水平集的嚴(yán)格凸性

Ω0,t=(1-t)BR(0)+tΩ0,

(4.3.19)

Ω1,t=(1-t)Br(0)+tΩ1,

(4.3.20)

(4.3.21)

這里求和是Minkowski向量和.故對于0≤t<1，Ωt是一族C2嚴(yán)格凸環(huán)(見Schneider[73]).我們記ut為下Dirichlet邊值問題得解

(4.3.22)

5 解與水平集凸性的定量估計(jì)

前面陳述的結(jié)論是凸性的定性研究，現(xiàn)在我們關(guān)心的問題是我們是否能通過區(qū)域的定量信息來得知區(qū)域內(nèi)方程解的凸性或水平集凸性的定量估計(jì).下面我們對凸性的研究歷史的三個(gè)例子給出用邊界數(shù)據(jù)表示的凸性的定量估計(jì).

例1的相關(guān)估計(jì).

由Gabriel[28]和Lewis[58]的定理知道凸環(huán)上的滿足齊次Dirichlet邊界條件p-調(diào)和函數(shù)的所有水平集是嚴(yán)格凸的.Longinetti[60]和Ortel-Schneider[71]首先證明二維調(diào)和函數(shù)凸水平集的曲率在邊界達(dá)到最小值.如果u是在區(qū)域上沒有臨界點(diǎn)的二維調(diào)和函數(shù)，令k為u的水平集的曲率，Talenti[78]證明|▽u|-1k是一個(gè)調(diào)和函數(shù).從此可以得到二維調(diào)和函數(shù)凸水平集曲率的用邊界數(shù)據(jù)給出的上界估計(jì).Longinetti[61]得到極小曲面的類似估計(jì)，其水平集的凸性來自于Shiffman[76].Jost-Ma-Ou[48]證明三維調(diào)和函數(shù)的凸水平集的高斯曲率在邊界達(dá)到極小.Ma-Ou-Zhang[66]通過高斯曲率首次完整地對任意維凸環(huán)上的p-調(diào)和函數(shù)的凸水平集的高斯曲率給出了一個(gè)最佳下界估計(jì)，它依賴于區(qū)域邊界的高斯曲率與p-調(diào)和函數(shù)的邊界梯度估計(jì)的上下界.由這些定量估計(jì)結(jié)合形變過程，可以得到水平集的嚴(yán)格凸性.Ma-Zhang[69]還得到了高維調(diào)和函數(shù)凸水平集的高斯曲率的沿函數(shù)高度的精細(xì)的變化關(guān)系.

現(xiàn)在敘述我們的估計(jì).

定理5.1[66]令Ω為n，n≥2中的有界光滑區(qū)域，為Ω中的p-調(diào)和函數(shù)，即

div(|▽u|p-2▽u)=0 inΩ.

(5.0.1)

情形1 對n≥2，1

|▽u|n+1-2pK

在邊界達(dá)到極小.

|▽u|1-pK

在邊界達(dá)到極小.

如果u是方程(3.3.1)的解，則容易知道|▽u|在邊界達(dá)到極大與極小，從而我們有以下推論.

推論5.2 令u滿足

(5.0.2)

這里1

(5.0.3)

(5.0.4)

(5.0.5)

(5.0.6)

推廣Longinetti[61],[62]利用凸體支撐函數(shù)的想法，在Ma-Zhang[69]中他們利用嚴(yán)格凸水平集的支撐函數(shù)和最大值原理，他們得到了高維p調(diào)和函數(shù)凸水平集的高斯曲率的沿函數(shù)高度的精細(xì)的變化關(guān)系.見下面定理

定理5.3[69]令u滿足

這里1

Γt={x∈Ω|u(x)=t} for 0

這里K為水平集的高斯曲率.則函數(shù)

是t∈(0,1)的凸函數(shù).

下面是一個(gè)推論.

推論5.4 在定理5.3的同樣條件下，對于?x∈Γt,0

(i) 對p=2，有

例2的相關(guān)估計(jì).

(5.0.7)

Ma-Shi-Ye在[67]中利用Makar-Limanov[65]的想法，對方程(1.0.2)和(5.0.7)也找到他們輔助函數(shù)的高維版本，證明它們的最小值在邊界達(dá)到.作為推論，他們給出了對應(yīng)凸性的證明并且得到了用區(qū)域邊界高斯曲率的下界給出的凸性估計(jì).我們對方程(1.0.2)(或(5.0.7))陳述我們的結(jié)果.

定理5.5[67]令Ω為n中的光滑有界區(qū)域，n≥2，u為方程(1.0.2)的解.并且是嚴(yán)格凸函數(shù)，則函數(shù)

滿足下面微分不等式

Δψ1≤0 mod (▽ψ1) inΩ,

(5.0.8)

這里我們已經(jīng)簡寫成ψ1具有局部有界系數(shù).并且函數(shù)ψ1在邊界達(dá)到極小值.因此從(5.0.8)，對方程(1.0.2)的解有下面估計(jì)

(5.0.9)

這里K是邊界?Ω的高斯曲率.

推論5.6[64，67]Ω為n中的光滑有界嚴(yán)格凸區(qū)域，κ極小，κ極大和K是邊界?Ω的極小主曲率，極大主曲率和極小高斯曲率.如果u為方程(1.0.2)的解，并且是嚴(yán)格凸函數(shù).則v的圖的高斯曲率KG滿足下面最優(yōu)估計(jì)

(5.0.10)

如果Ω為單位球B1(0)?n則在(5.0.10)等號(hào)在原點(diǎn)O成立.

例3的相關(guān)估計(jì).

在二維時(shí)，利用了Makar-Limanov[65]的類似技巧，Acker-Payne-Philippin[1]他們給出了Brascamp-Lieb關(guān)于凸有界區(qū)域上的第一特征函數(shù)的對數(shù)凹性的新證明.因?yàn)閷τ?1.0.3)的解u，則v=-logu滿足

(5.0.11)

同樣對方程(1.0.3)和(5.0.11)，Ma-Shi-Ye在[67]中利用[65]和[1]的想法，對方程(1.0.3)和(5.0.11)也找到他們輔助函數(shù)的高維版本，證明它們的最小值在邊界達(dá)到.作為推論，他們給出了對應(yīng)凸性的證明并且得到了用區(qū)域邊界高斯曲率的下界給出的凸性估計(jì).

定理5.7 令Ω為n，n≥2中光滑有界凸區(qū)域，u>0為Dirichlet第一特征函數(shù)即方程(1.0.3)的正解.如果v=-logu為嚴(yán)格凸函數(shù)，則

滿足以下微分不等式

Δψ2≤0 mod (▽ψ2) inΩ,

(5.0.12)

里我們已經(jīng)簡寫ψ2具有局部有界系數(shù).并且函數(shù)ψ2在邊界達(dá)到極小值.因此從(5.0.12)，對方程(1.0.3)的解我們有下面估計(jì)

(5.0.13)

這里K是邊界?Ω的高斯曲率.

注 Andrews-Clutterbuck[5]利用與一維情形的對比，對v=-logu的凸性給出了一個(gè)最優(yōu)估計(jì)從而解決了有名的特征值得Gap猜想.

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麻希南教授簡介

麻希南教授 1969年1月出生于浙江省嵊縣，1996年獲杭州大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)博士學(xué)位.現(xiàn)任中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授. 先后在華東師范大學(xué)、中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)、中科院數(shù)學(xué)研究所、加拿大McMaster大學(xué)、以色列Bar-Ilan大學(xué)、臺(tái)灣理論科學(xué)中心、澳大利亞國立大學(xué)、德國馬普數(shù)學(xué)研究所、美國普林斯頓高等研究院等地工作和訪問.曾經(jīng)得到過霍英東青年教師獎(jiǎng)(2004)；中國科學(xué)院百人計(jì)劃(2005)；國家自然科學(xué)基金委員會(huì)國家杰出青年基金(2011)；教育部長江學(xué)者(2013)等獎(jiǎng)勵(lì)與資助.主持多項(xiàng)國家自然科學(xué)基金，發(fā)表多篇高水平論文.

主要研究非線性橢圓偏微分方程和幾何分析.與人合作在凸體理論中的Christoffel-Minkowski問題，最優(yōu)運(yùn)勢問題的存在性與正則性，橢圓Hessian方程的Neumann問題，Kahler流形上的非線性橢圓偏微分方程，橢圓與拋物方程解的凸性以及水平集凸性等問題上做過工作.

The Convexity of the Solution of Elliptic and Parabolic Partial Differential Equations

MAXi-nan

(School of Mathematical Sciences, University of Science and Technology of China, Hefei 230026, China)

We give a survey on the convexity of the solutions or the level sets of the solution for elliptic and parabolic partial differential equations. We start three classical examples,then we introduce some usual methods in the study of convexity, at last we get some quantitative convexity estimates. We mainly concerns the results obtained by the author and his collaborator.

The convexity of the solution for partial differential equations； the convexity of the level sets of the solution of partial differential equations； constant rank theorem； convexity estimates for the solution and its level sets

2016-09-30； [修改日期]2016-10-10

國家自然科學(xué)基金(11471188；11125105)

麻希南(1969—)男，博士，教授，從事偏微分方程研究.Emal: xinan@ustc.edu.cn

175.25

A

1672-1454(2016)05-0001-17