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    一個二項式擴展模型及其在橢圓周長逼近中的應(yīng)用

    2016-12-19 07:28:09馮有寬
    大學(xué)數(shù)學(xué) 2016年5期
    關(guān)鍵詞:展開式二項式級數(shù)

    馮有寬

    (內(nèi)蒙古人力資源和社會保障廳,呼和浩特010055)

    ?

    一個二項式擴展模型及其在橢圓周長逼近中的應(yīng)用

    馮有寬

    (內(nèi)蒙古人力資源和社會保障廳,呼和浩特010055)

    針對無法用初等函數(shù)精確表示的橢圓周長級數(shù)展開式,首次提出了一個含有3參數(shù)的二項式逼近模型;討論了這一模型用于逼近橢圓周長的基本方法,進而得到了5個結(jié)構(gòu)緊湊的近似計算公式;通過實例分析論證了公式的精確度及其實用性.

    二項式; 擴展模型; 函數(shù)逼近; 橢圓周長

    1 引 言

    眾所周知,橢圓周長不能表示為精確的初等公式,通常表示為橢圓積分形式及其級數(shù)展開式[1].一個常用的級數(shù)展開式是

    (1)

    為了方便計算,許多學(xué)者以上述級數(shù)展開式為基礎(chǔ),對橢圓周長近似計算問題作了進一步探索,提出了不少近似公式[2].其中,1914年印度數(shù)學(xué)家拉馬努金(S. Ramanujan ,1887-1920)給出了一個簡潔而實用的近似公式,即

    (2)

    這個公式形式簡潔,精度較高,呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)的美感,因而得到了廣大數(shù)學(xué)愛好者的普遍認可.但公式的推導(dǎo)過程卻不得而知,未查閱到相關(guān)資料.

    在研究橢圓周長近似計算問題中,我們用二項式的一個擴展模型逼近橢圓周長,不僅得到了拉馬努金給出的近似公式,還可以得到更多、更精確的近似公式.本文介紹了這一模型及其在橢圓周長逼近中的應(yīng)用.

    2 一個二項式擴展模型

    牛頓二項式定理一般可表示為

    (3)

    式(3)中x為變量,m為參數(shù).

    隨著變量x和參數(shù)m的取值不同,右端的級數(shù)展開式可分別呈現(xiàn)出幾何級數(shù)、正項級數(shù)、交錯級數(shù)等不同類型的級數(shù),具有逼近函數(shù)的基本特性.但由于參數(shù)少,在應(yīng)用范圍上受到了限制.為此,在式(3)基礎(chǔ)上加入了k和g兩個參數(shù),變?yōu)橐韵滦问?/p>

    (4)

    式(4)與式(3)相比,由一個參數(shù)增加到三個參數(shù),增強了實用性;等式左端包含二項式、右端是按照二項式定理展開的多項式,我們稱其為二項式的一個擴展模型.

    3 二項式擴展模型在橢圓周長逼近中的應(yīng)用

    3.1 基本逼近方法

    用函數(shù)p(x)近似表示已知函數(shù)f(x),并求出兩者間的誤差,這是函數(shù)逼近的基本問題[3].用二項式擴展模型逼近橢圓周長,只需將橢圓周長公式中的級數(shù)部分(或級數(shù)部分運算后生成的新級數(shù))作為被逼近函數(shù),即

    (5)

    將二項式擴展模型作為逼近函數(shù),即

    (6)

    按照式(4)與式(5)級數(shù)展開式同次冪系數(shù)相等的規(guī)則,可得到以下方程組及其g,k,m三個參數(shù)的求解結(jié)果,即

    (7)

    將三個參數(shù)代入式(6)可得到逼近函數(shù)p(x),用p(x)近似表示f(x)便可獲得不同形式的橢圓周長近似公式.

    3.2 具體逼近方法與實例

    3.2.1 直接逼近

    將式(1)括號內(nèi)的級數(shù)展開式設(shè)定為被逼近函數(shù),即

    (8)

    替換式(8)并回代到式(1)可得到橢圓周長的第一個近似公式,即

    (9)

    3.2.2 分母中逼近

    式(8)運算后可變?yōu)?/p>

    (10)

    按照級數(shù)運算規(guī)則,式(10)可變?yōu)榉帜钢邪墧?shù)的形式,即

    (11)

    替換被逼近函數(shù)并代入式(11)可得到橢圓周長的第二個近似公式,即

    (12)

    這個公式與拉馬努金給出的公式完全相同.拉馬努金曾經(jīng)給出了幾千個數(shù)學(xué)公式,很多公式都沒有推導(dǎo)過程,我們不敢妄加猜測他的思想過程,但相同的結(jié)果卻值得我們深思.

    如果按照分母中逼近的上述思路,將式(11)進一步運算還可變化為以下形式

    (13)

    將式(13)小括號內(nèi)的冪級數(shù)多項式作為被逼近函數(shù)f(x),用相同的方法可得到第三個近似公式,即

    (14)

    3.2.3 分子分母分別逼近

    根據(jù)二項式擴展模型逼近函數(shù)的特性,可將式(10)運算后變?yōu)?/p>

    (15)

    進一步運算可得到以下有理分式(不同于Padé逼近中的有理分式)

    (16)

    采用前述方法對式(16)的分子、分母分別逼近可得到第四個近似公式,即

    (17)

    3.2.4 不同方法組合逼近

    不同的逼近方法可以組合應(yīng)用.比如,將式(16)進一步運算可變?yōu)?/p>

    (18)

    用相同的方法可得到第五個近似計算公式

    (19)

    注 式(19)中的指數(shù)3/5為化簡近似值.

    上述例舉了應(yīng)用二項式擴展模型獲取橢圓周長公式的幾個具體方法和實例,通過各種逼近方法的組合應(yīng)用還可得到更多的近似公式,這里不再贅述.

    3.3 誤差分析

    上述式(9),(12),(14),(17)和(19)五個橢圓周長近似公式,精度如何?不妨通過實例加以說明.

    假設(shè)有4個橢圓,長半軸a值均為500,離心率e分別為0.28,0.6,0.8,0.96,則短半軸b值分別為480,400,300,140.據(jù)此,可分別計算不同的x值,并按照公式(1)取足夠精度要求的級數(shù)項來計算橢圓周長.假設(shè)按公式(1)計算的結(jié)果為橢圓周長的真值,將對應(yīng)的x代入上述5個近似公式,便可計算不同橢圓周長的近似值;真值減去近似值的差與真值相比,便可得到相對誤差,據(jù)此即可判斷近似公式的精確度.

    為便于分析,將上述設(shè)定的數(shù)據(jù)和計算值列于表1.

    表1 橢圓周長近似計算公式誤差對比表

    表1應(yīng)用5個近似公式,分別計算了4個不同參數(shù)的橢圓周長的近似值和相對誤差.從誤差情況看,同一公式計算不同離心率的橢圓周長,離心率越小,精度越高;而5個不同的近似公式用于計算相同離心率的橢圓周長,公式精度依次有所提高.精度最高的是式(19),離心率小于0.8時,精度至少達到了15位以上有效數(shù)值,這一精度在天文計算中也是可以應(yīng)用的.

    4 結(jié) 語

    本文提出了一個二項式擴展模型,用于逼近橢圓周長,得到了五個近似計算公式.逼近過程運算簡單,實證分析精度較高,說明應(yīng)用這一模型逼近橢圓周長是非常實用的.二項式擴展模型是否能夠用于逼近其他函數(shù)?如果答案肯定,則必將能夠豐富函數(shù)逼近理論和擴展函數(shù)逼近方法,期待廣大學(xué)者研究論證.

    [1] 周祖逵.橢圓周長近似公式[J] .數(shù)學(xué)通報,1995,34(6),45-47.

    [2] Roger W, Barnard, Kent Pearce, Kendall C, Richards. A Monotonicity Property Involving 3F2 and Comparisons of the Classical Approximations of Elliptical Arc Length[J]. SIAM J. Math. Anal., 2000 , 32, (2):403-419.

    [3] 王仁宏.數(shù)值逼近[M].北京:高等教育出版社,1999: 17-26.

    One Binomial Expansion Model and its Application in Approximation for Perimeter of an Ellipse

    FENGYou-kuan

    (Inner Mongolia Human Resources and Social Security Department, Hohhot 010055, China)

    We first propose the 3 parameters binomial approximating model for the series expansion of ellipse perimeter which can’t be refined calculated by elementary function; Using this model, we discusses the basic method for approximating the ellipse perimeter, and obtain 5 compacted approximate formula; We take instance analysis to prove the accuracy and practicability of this model.

    binomial; expansion model; function approximation; the perimeter of an ellipse

    2015-12-18; [修改日期] 2016-08-22

    馮有寬(1960-),男,學(xué)士,從事養(yǎng)老保險研究.Email:fengyoukuan@126.com

    O174.41

    C

    1672-1454(2016)05-0116-05

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