再論Cauchy微分中值定理的逆問題

王良成，馬秀芬，楊明碩

(重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院，重慶401520)

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再論Cauchy微分中值定理的逆問題

王良成，馬秀芬，楊明碩

(重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院，重慶401520)

文[1]給出了“Cauchy微分中值定理”中值點唯一的條件，并得到了其逆定理的較弱表述.繼續(xù)文[1]的工作，利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，解決了其逆定理中端點的唯一性.

Cauchy微分中值定理； 嚴(yán)格單調(diào)性； 左右導(dǎo)數(shù)； 導(dǎo)數(shù)； 逆問題

1 引 言

本文均假定f(t)與g(t)在[a,b]上連續(xù), g(t)在t∈(a,b)處左右導(dǎo)數(shù)均存在且恒正(即g(t)在[a,b]上嚴(yán)格遞增(參見[2]).對?c∈(a,b)，定義函數(shù)

文[1]以較弱形式統(tǒng)一了“Cauchy微分中值定理”的逆問題，得到如下定理.

定理A 對?c∈(a,b)，若函數(shù)F(x,c)關(guān)于x在[a,c)∪(c,b]上嚴(yán)格遞增，則存在r,s∈[a,b]，r

若函數(shù)F(x,c)關(guān)于x在[a,c)∪(c,b]上嚴(yán)格遞減，則上式反向成立. 若函數(shù)F(x,c)關(guān)于x在[a,c)∪(c,b]上嚴(yán)格單調(diào)， f′(c)與g′(c)存在且g′(c)恒正，則存在r,s∈[a,b]，r

本文的目的是解決上述定理中r與s的唯一性問題.為了解決本文的問題還須文[2]中如下定理.

定理B 對?c∈(a,b)，若函數(shù)F(x,c)關(guān)于x在[a,c)∪(c,b]上嚴(yán)格遞增，則f′-(c)與f′+(c)均存在，且有如下三個不等式

1. 對a≤x1

(1.1)

2. 對?r,s∈(a,b)，r

(1.2)

3. 對?x∈[a,b], x≠c, 則有

(1.3)

若F(x,c)關(guān)于x在[a,c)∪(c,b]上嚴(yán)格遞減，則f′-(c)與f′+(c)均存在且上述三類不等式反向成立.

2 主要結(jié)果

定理2.1 對?c∈(a,b)，若函數(shù)F(x,c)關(guān)于x在[a,c)∪(c,b]上嚴(yán)格遞增， 則有如下三個結(jié)果.

(i) 存在唯一的z∈(a,b)使得

(2.1)

① 存在唯一的d∈(ξ,b)使得

(2.2)

反之對上述的d，只有a才能使上式成立.

② 對?r∈(a,ξ)及上述的d，則存在唯一的s∈(ξ,d)，使得

(2.3)

反之對上述的d及?s∈(ξ,d)，則存在唯一的r∈(a,ξ)才能使上式成立.

① 存在唯一的e∈(a,ξ)使得

(2.4)

反之對上述的e，只有b才能使上式成立.

② 對?u∈(ξ,b)及上述的e，則存在唯一的v∈(e,ξ)使得

(2.5)

反之對上述的e及?v∈(e,ξ)，則存在唯一的u∈(ξ,b)才能使上式成立.

當(dāng)F(x,c)關(guān)于x在[a,c)∪(c,b]上嚴(yán)格遞減時，則(i)-(iii)中的不等式均反向.

證 (i) (2.1)式及唯一的z∈(a,b)是文[1]中定理3的直接結(jié)果.

(ii) ① 設(shè)w(x)=f(x)-f(a)-m(g(x)-g(a)), 則w(x)在[ξ,b]上連續(xù).由已知及 (1.3)式有

由 (2.1)式, 已知及(1.2)式有

由連續(xù)函數(shù)零點定理知，存在d∈(ξ,b)使得

f(d)-f(a)-m(g(d)-g(a))=w(d)=0，

即(2.2)式成立.

對?x1,x2∈[ξ,b] , x1

w(x2)-w(x1) =f(x2)-f(x1)-m(g(x2)-g(x1))

即w(x)在[ξ,b]上嚴(yán)格單調(diào)遞增.則(2.2)式中的d是唯一的.

對?r∈(a,ξ)，則a

即對于上述的d，只有a才能使(2.2)式成立.

② 對?r∈(a,ξ)，設(shè)p(x)=f(x)-f(r)-m(g(x)-g(r)),則p(x)在[ξ,d]上連續(xù).由已知及 (1.3)式有

由a

由零點定理知，存在s∈(ξ,d)使得f(s)-f(r)-m(g(s)-g(r))=p(s)=0，即(2.3)式成立.

對?x1,x2∈[ξ,d] , x1

p(x2)-p(x1) =f(x2)-f(x1)-m(g(x2)-g(x1))

即p(x)在[ξ,d]上嚴(yán)格單調(diào)遞增.則(2.3)式中的s是唯一的.

反之對?s∈(ξ,d)，設(shè)q(x)=f(s)-f(x)-m(g(s)-g(x)),則q(x)在[a,ξ]上連續(xù).由a

由已知及(1.3) 式有

由零點定理知, 存在r∈(a,ξ)使得f(s)-f(r)-m(g(s)-g(r))=q(r)=0，即(2.3)成立.

對?x1,x2∈[a,ξ] , x1

q(x2)-q(x1) =m(g(x2)-g(x1))-(f(x2)-f(x1))

即q(x)在[a,ξ]上嚴(yán)格單調(diào)遞增.則(2.3)式中的r是唯一的.

(iii) 設(shè)k(x)=f(b)-f(x)-m(g(b)-g(x)), 仿照(ii)中①的證法，可證得(2.4)式; 對?u∈(ξ,b)，設(shè)l(x)=f(u)-f(x)-m(g(u)-g(x)), 再仿照(ii)中②的前半部分的證法，可證得：存在唯一的v∈(e,ξ)使得(2.5)式成立; 反之對?v∈(e,ξ)，設(shè)j(x)=f(x)-f(v)-m(g(x)-g(v)), 仍仿照(ii)中②的后半部分的證法，可證得：存在唯一的u∈(ξ,b)才能使(2.5)式成立.

由定理2.1直接可得如下定理.

定理2.2 對?c∈(a,b)，若函數(shù)F(x,c)關(guān)于x在[a,c)∪(c,b]上嚴(yán)格單調(diào)，f′(c)與g′(c)存在且g′(c)恒正，則有如下三個結(jié)果

(i) 存在唯一的z∈(a,b)使得

(ii) 對?ξ∈(a,z)，則存在唯一的d∈(ξ,b)使得

反之對上述的d，只有a才能使上式成立.且對?r∈(a,ξ)，則存在唯一的s∈(ξ,d)，使得

反之對?s∈(ξ,d)，則存在唯一的r∈(a,ξ)才能使上式成立.

(iii) 對?ξ∈(z,b)，則存在唯一的e∈(a,ξ)使得

反之對上述的e，只有b才能使上式成立.且對?u∈(ξ,b)，則存在唯一的v∈(e,ξ)使得

反之對?v∈(e,ξ)，則存在唯一u∈(ξ,b)才能使上式成立.

注1 當(dāng)g(x)=x時，本文的定理A、定理2.1與定理2.2的結(jié)果變?yōu)槲腫3]中主要定理的相應(yīng)結(jié)果.

注2 當(dāng)g(x)在[a,b]上嚴(yán)格單調(diào)遞減時，仍有與本文定理相應(yīng)的結(jié)果.

[1] 王良成,等.與Cauchy微分中值定理相關(guān)的幾個問題[J]. 高等數(shù)學(xué)研究, 2013,16(5):9-11.

[2] 王良成.凸函數(shù)及其不等式[M]. 成都：四川大學(xué)出版社, 2001.

[3] 王良成，等.關(guān)于Lagrange微分中值定理的逆問題[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2012,28(5)：140-143.

Further Discuss Inverse Problem of Cauchy’s Differential Mid-VaIue Theorem

WANGLiang-Cheng,MAXiu-fen,YANGMing-Shuo

(Chongqing Normal University, Foreign Trade And Business College, Chongqing 401519, China)

In the paper [1], the condition of unique mid-value point for " Cauchy’s differential mid-value theorem " is given, and its the inverse theorem of weak expression is obtained. In this paper, we continue to the work of the paper [1]. By the properties of continuous functions on closed interval and monotonicity of function, we solve the uniqueness of end-point for its the inverse theorem.

Cauchy’s differential mid-value theorem; strictly monotonicity; left and right derivative;derivative; inverse problem

2015-06-10； [修改日期] 2016-06-26

重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院重點科研項目(KY2015001)

王良成(1949-)，男，教授，從事凸分析研究，Email: wlc@cqut.edu.cn

O178

C

1672-1454(2016)05-0101-04