新廣義V-I致型多目標(biāo)半無限規(guī)劃ε-有效解的充分性

蘇紫洋，王榮波

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

對(duì)于非光滑多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)性條件的研究一直是近幾年來的熱點(diǎn)問題，并且取得了很大的成果，如文獻(xiàn)[1-7]。在多目標(biāo)規(guī)劃問題中各種凸性及其推廣也被廣泛應(yīng)用。例如，文獻(xiàn)[2]將文獻(xiàn)[1]引入的不變凸性理論推廣為I型和II型不變凸性；文獻(xiàn)[3]對(duì)文獻(xiàn)[2]進(jìn)行了進(jìn)一步推廣和應(yīng)用；后來文獻(xiàn)[4]推廣了各種I型不變凸性，并提出了向量型不變凸性等相關(guān)概念，引入了V-I型、偽V-I型、擬V-I型等廣義不變凸函數(shù)，并在這些廣義I型的不變凸性條件下討論了關(guān)于多目標(biāo)規(guī)劃的一些對(duì)偶性定理和最優(yōu)性條件；文獻(xiàn)[5]在對(duì)稱可微的非光滑情況下把各種V-I型函數(shù)進(jìn)行了推廣，并給出了V-Is型等一些不變凸函數(shù)的定義；文獻(xiàn)[6]在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上定義了廣義一致V-Is型等多個(gè)廣義不變凸函數(shù)，且在廣義一致V-Is型不變凸性條件下，討論并得到了關(guān)于非光滑多目標(biāo)半無限規(guī)劃的一些最優(yōu)條件。

本文借助文獻(xiàn)[7]引入了新廣義一致V-Is,ε型不變凸函數(shù)的概念。我們假設(shè)在新廣義一致不變凸性的情況下，對(duì)一類非光滑多目標(biāo)半無限規(guī)劃問題進(jìn)行了討論和研究，并得出了若干個(gè)最優(yōu)性結(jié)果。

1 基本概念

相關(guān)符號(hào)：

x∈Rn，y∈Rn，x≤y?xiyi?i=1，…，n,x≠y。

x∈Rn,y∈Rn,xy?xiyi?i=1，…，n,≥和≧分別與≤和≦的意義類似。

hi:R→R，hj:R→R，Ti:X0×X0→R+/{0}，Uj:X0×X0→R+/{0}，Z:X0×X0→Rn，

考慮下列多目標(biāo)規(guī)劃問題(SIVP)：

minf(x)=(f1(x),f2(x)，…，fi(x))T，

s.t.g(x,u)0,x∈X0?Rn,u∈U。

其中f:X0→Rp是對(duì)稱可微函數(shù)，g:X0×U→Rm對(duì)于?u∈U關(guān)于x是對(duì)稱可微的，X0是一個(gè)開集，U∈Rm是一個(gè)無限參數(shù)集。

記：X={x∈X0|g(x,u)0,X0?Rn，u∈U}，

I(x*)={i|g(x*,uj)=0,x*∈X0,uj∈U}，

設(shè)U*={uj∈U|g(x,uj)0,j∈△,△是的任意可數(shù)子集}是U的任意可數(shù)子集，Λ={λj|λj0,j∈△，且僅有有限個(gè)λj≠0}。

定義1 設(shè)x*∈X，對(duì)ε>0，如果不存在x∈X，使得f(x)≤f(x*)-ε，則說x*是(SIVP)的ε-有效解。

定義2[6]設(shè)x∈X0如果存在一個(gè)Rn→Rn的線性算子fs(x)，使得對(duì)充分小的h∈Rn有

f(x+h)-f(x-h)=2hT·f(x)+α(x,h)‖h‖，

其中α(x,h)∈R1，且當(dāng)‖h‖→0時(shí)，α(x,h)→0，則稱f在x處對(duì)稱可微，記為S-可微，稱fs(x)為f在x處的對(duì)稱梯度(當(dāng)f為一元函數(shù)時(shí)，fs(x)稱為對(duì)稱導(dǎo)數(shù))，如果f在每個(gè)x∈X0處對(duì)稱可微，則稱f在X0上對(duì)稱可微。

定義3 對(duì)于問題(SIVP)，如果存在定義中的bi,bj,Ti,Uj,hi,hj使得

bi(x,x0)hi[fi(x)-fi(x0)]

?x∈X0,i=1，…，p。

(1)

-bj(x,x0)hj(g(x0,uj))

Uj(x,x0)ZT(x,x0)gs(x0,uj)-ε，

?x∈X0,j=1,…,m。

(2)

則稱(SIVP)在x0∈X處是廣義一致V-Is,ε型的。如果(SIVP)在每一點(diǎn)x∈X0處是廣義一致偽V-Is,ε型的，則稱(SIVP)在X0上是廣義一致V-Is,ε型的；如果當(dāng)x≠x0時(shí)不等式(1)為嚴(yán)格的，則稱(SIVP)在x0處或X0上是廣義一致半嚴(yán)格V-Is,ε型的。

定義4[6]對(duì)于問題(SIVP)，如果存在定義中的bi,bj,Ti,Uj,hi,hj，對(duì)一些τ∈Rp,τi0，λi∈Λ，使得

?x∈X0,i=1，…，P。

(3)

?x∈X0,j=1,…,m。

(4)

則稱(SIVP)在x0∈X處是廣義一致偽V-Is型的。如果(SIVP)在每一點(diǎn)x∈X0處是廣義一致偽V-Is型的，則稱(SIVP)在X0上是廣義一致偽V-Is型的；如果當(dāng)不等式(3)(不等式(4))中的第二個(gè)不等式為嚴(yán)格的，則稱(SIVP)在x0處或X0上是廣義一致半嚴(yán)格偽V-Is型的；如果當(dāng)不等式(3)和不等式(4)中的第二個(gè)不等式都為嚴(yán)格的，則稱(SIVP)在x0處或X0上是廣義一致嚴(yán)格偽V-Is型的。

定義5[6]對(duì)于問題(SIVP)，如果存在定義中的bi,bj,Ti,Uj,hi,hj，對(duì)一些τ∈Rp，τi0，λj∈Λ，使得

?x∈X0,i=1，…，p。

(5)

?x∈X0,j=1，…，m。

(6)

則稱(SIVP)在x0∈X處是廣義一致擬偽型V-Is的。如果(SIVP)在每一點(diǎn)x∈X0處是廣義一致V-Is型的，則稱(SIVP)在X0上是廣義一致擬偽V-Is型的；如果式(6)中的第2個(gè)不等式為嚴(yán)格的，則稱(SIVP)在X0處或X0上是廣義一致擬嚴(yán)格偽V-Is型。

2 充分性條件

定理1 假設(shè)x0∈X。如果：

(Ⅱ)(SIVP)關(guān)于bi>0，Ti>0，Uj>0，(j∈△)對(duì)于?uj∈U*且在x0處是V-Is,ε型的。

(Ⅲ)當(dāng)a<0時(shí)，hi(a)<-ε；當(dāng)a0時(shí)，

hi(a)-ε；當(dāng)a=0時(shí)，hi(a)=0。則x0是(SIVP)的ε-有效解。

證明由假設(shè)(Ⅱ)

bi(x,x0)hi[fi(x)-fi(x0)]

?x∈X0,i=1，…，p。

-bj(x,x0)hj(g(x0,uj))

Uj(x,x0)ZT(x,x0)gs(x0,uj)-ε，

?x∈X0,j=1，…,m。

上述兩式相加得：

由(Ⅰ)得

(7)

通過(11)式可得：

(8)

由于bi>0,Ti>0,Uj>0，(j∈△)，(8)式也可表示為

(9)

定理2 假設(shè)x0∈X。如果

(Ⅱ)(SIVP)關(guān)于bi>0，Ti>0，Uj>0，(j∈△)對(duì)于?uj∈U*且在x0處是廣義一致擬嚴(yán)格偽V-Is型的。

(Ⅲ)當(dāng)a<0時(shí)，hi(a)<-ε；當(dāng)a0時(shí)，hi(a)-ε；當(dāng)a=0時(shí)，hj(a)=0。則x0是(SIVP)的ε-有效解。

(10)

由假設(shè)條件(Ⅱ)得

上面兩式相加得：

(11)

再有假設(shè)(Ⅰ)中的(a)得，

這與(11)式矛盾，故x0是(SIVP)的ε-有效解。

定理3 假設(shè)x0∈X。如果

(Ⅱ)(SIVP)關(guān)于bi>0，Ti>0,Uj>0,(j∈△)對(duì)于?uj∈U*且在x0處是廣義一致嚴(yán)格偽V-Is型的。

(Ⅲ)當(dāng)a<0時(shí)，hj(a)<-ε；當(dāng)a0時(shí)，hi(a)-ε；當(dāng)a=0時(shí)，hj(a)=0。則x0是(SIVP)的ε—有效解。

由假設(shè)條件(Ⅱ)得：

由假設(shè)(Ⅰ)中的(a)得：

由假設(shè)(Ⅱ)得：

?x∈X。

(12)