Neuman－Sàndor平均的Schur凸性和Schur幾何凸性＊

錢偉茂

（1.湖州廣播電視大學(xué) 遠(yuǎn)程教育學(xué)院，浙江 湖州313000；2.湖州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 遠(yuǎn)程教育學(xué)院，浙江 湖州313000）

1 引言與引理

2003年E.Neuman和J.Sàndor在文獻(xiàn)［1］中定義了兩個(gè)正實(shí)數(shù)a，b的所謂Neuman－Sàndor平均：

設(shè)

分別表示兩正數(shù)a，b的算術(shù)平均、幾何平均、對(duì)數(shù)平均、平方根平均、反調(diào)和平均、第一類Seiffert平均和第二類Seiffert平均.則對(duì)于a，b＞0且a≠b，有著名不等式：

G（a，b）＜L（a，b）＜P（a，b）＜A（a，b）＜M（a，b）＜T（a，b）＜Q（a，b）＜C（a，b）.

2011，年李大矛、石煥南等［2］得到：P（a，b）關(guān)于a，b在?2＋上是Schur凹函數(shù)和P（a，b）關(guān)于a，b在?2＋上是Schur幾何凸函數(shù).李明、何燈［3］證明了T（a，b）關(guān)于a，b在?2＋上是Schur凸函數(shù)和T（a，b）關(guān)于a，b在?2＋上是Schur幾何凸函數(shù).近年來，諸多文獻(xiàn)［4～8］又給出了大量與Neuman－Sàndor平均有關(guān)的不等式.

本文根據(jù)凸函數(shù)理論，證明M（a，b）在?2＋上是Schur凸函數(shù)和Schur幾何凸函數(shù).為此我們需要如下定義和引理.

對(duì)于x＝（x1，x2，…xn）∈?n，將x的分量遞減重排后，記作x［1］≥x［2］≥…≥x［n］，并用x≤y表示xi≤yi，i＝1，2，…，n.

定義1［9］設(shè)x，y∈?n滿足：

則稱x被y所控制，記作x?y.

定義2［9］設(shè)Ω??n，φ∶Ω→?，若對(duì)于?x，y∈Ω，當(dāng)x?y時(shí)，有φ（x）≤φ（y），則稱φ為Ω 上的Schur凸函數(shù)；若－φ是Ω 上Schur凸函數(shù)，則稱φ為Ω 上的Schur凹函數(shù).

定義3［10］設(shè)Ω ?，函數(shù)φ∶Ω→?＋，若對(duì)于?x，y∈Ω，

（1）當(dāng)lnx?lny時(shí)，有φ（x）≤φ（y），則稱φ為Ω 上的Schur幾何凸函數(shù)；

（2）當(dāng)lnx?lny時(shí)，有φ（x）≥φ（y），則稱φ為Ω 上的Schur幾何凹函數(shù).

引理1［10］設(shè)Ω??n是有內(nèi)點(diǎn)的對(duì)稱凸集，φ∶Ω→R在Ω 上連續(xù)，在Ω 的內(nèi)部Ω0可微，則φ在Ω上Schur凸（凹）的充要條件是：φ在Ω 上對(duì)稱且對(duì)?x∈Ω0，有：

引理2［10］設(shè)Ω??n是有內(nèi)點(diǎn)的對(duì)稱幾何凸集，φ∶Ω→R在Ω 上連續(xù)，在Ω 的內(nèi)部Ω0可微，則φ在Ω 上對(duì)稱，且對(duì)?x∈Ω0，有：

則φ在Ω 上Schur幾何凸（凹）函數(shù).

引理3［11］設(shè)a≤b，u（t）＝tb＋（1－t）a，v（t）＝ta＋（1－t）b，≤t1≤t2≤1，則

引理4M（a，b）是?2＋上的對(duì)稱函數(shù).

證明 對(duì)于a，b∈?＋，a≠b，有：

所以，M（a，b）在?2＋上關(guān)于a，b對(duì)稱.

2 主要結(jié)果及其證明

定理1M（a，b）關(guān)于a，b在?2＋上是Schur凸函數(shù).

證明 對(duì)于（a，b）∈?2＋，a≠b，令

于是

令

故f（u）關(guān)于變量u∈［－1，0）是單調(diào)遞減，關(guān)于變量u∈（0，1］是單調(diào)遞增.當(dāng)－1≤u＜0時(shí)，（u）＝0，而當(dāng)0＜u≤1時(shí)，也有g(shù)（u）≥＝0.因此，當(dāng)a＜b時(shí)，－1≤u＜0，g（u）≥0，有Λ≥0；當(dāng)a＞b時(shí)，0＜u≤1，g（u）≥0，也有Λ≥0.所以，對(duì)?a，b∈?＋，a≠b，都有Λ≥0.根據(jù)引理1可知，M（a，b）關(guān)于a，b在?2＋上是Schur凸函數(shù).

定理2M（a，b）關(guān)于a，b在?2＋上是Schur幾何凸函數(shù).

證明 對(duì)于（a，b）∈?2＋，a≠b，令

于是

令g（u）＝sinh－1u＋，則有：

故g（u）關(guān)于變量u∈［－1，0）∪（0，1］是單調(diào)遞增.當(dāng)－1≤u＜0時(shí)，g（u）≤＝0，而當(dāng)0＜u≤1時(shí)，g（u）≥＝0.因此，當(dāng)a＜b時(shí)，－1≤u＜0，g（u）≤0，有Λ ≥0；當(dāng)a＞b時(shí)，0＜u≤1，g（u）≥0，也有Λ ≥0.所以，對(duì)?a，b∈?＋，a≠b，都有Λ≥0，根據(jù)引理2可知，M（a，b）關(guān)于a，b在上是Schur幾何凸函數(shù).

根據(jù)定理1和引理3，易得如下推論（證明從略），它給出了兩個(gè)新的不等式鏈.

推論1 設(shè)b＞a＞0，u（t）＝（1－t）a＋tb，v（t）＝ta＋（1－t）b，＜t1＜t2＜1，有：

特別地，有：

推論2 設(shè)b＞a＞0，u（t）＝a1－tbt，u（t）＝atb1－t，＜t1＜t2＜1，有：

特別地，有：

［1］Neuman E，Sàndor J.On the Schwab－Borchardt mean［J］.MathPannon，2003，14（2）：253～266.

［2］李大矛，石煥南，張鑒.Seiffert平均的Schur凸性和Schur幾何凸性［J］.湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，24（2）：7～10.

［3］李明，何燈.一個(gè)Seiffert平均的Schur凸性和Schur幾何凸性［J］.廣東第二師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，31（3）：23～25.

［4］Neuman E，Sàndor J.On the Schwab－Borchardt meanⅡ［J］.MathPannon，2006，17（1）：49～59.

［5］Li Yong－min，Long Bo－yong，Chu Yu－ming.Sharp bounds for the Neuman－Sàndor mean in terms of generalized logarithmic mean［J］.JMathInequal，2012，6（4）：567～577.

［6］Yang Zhen－h(huán)ang.Sharp power means bounds for Neuman－Sàndor mean［J］.MathCA，2012，8（4）：1～9.

［7］Neuma E.A note on certain bivariate mean［J］.JMathInequal，2012，6（4）：637～643.

［8］Chu Yu－ming，Wang Miao－kun.Refinements of the inequalities between Neuman－Sàndor，arithmetic，Contra－Harmonic and quadratic means［J］.MathCA，2012，9（13）：1～9.

［9］王伯英.控制不等式基礎(chǔ)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，1990.

［10］張小明.幾何凸函數(shù)［M］.合肥：安徽大學(xué)出版社，2004.

［11］李大矛，顧春，石煥南.Heron平均冪型推廣的Schur凸性［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2006，36（9）：387～390.